05-30-圆盘法与圆柱壳法求体积

第 22 讲：圆盘法与圆柱壳法求体积

1. 两种旋转体方法

本讲通过例题介绍两种计算旋转体体积的方法：

1. 圆盘／垫片法；
2. 圆柱壳法。

选择哪一种，取决于切片方向与旋转轴的关系：

• 切片垂直于旋转轴，形成圆盘或垫片；
• 切片平行于旋转轴，形成薄圆柱壳。

2. 例 1：女巫的大锅

把区域

绕 轴旋转，得到一个抛物面形大锅。

3. 方法一：圆盘法

取水平薄片，厚度为

在高度 处，由

得圆盘半径

圆盘面积：

小体积：

所以总容量：

4. 单位陷阱

若把方程写成

数值形式其实依赖所选单位，因为等式两边的物理量纲并不相同；严格的物理模型应含一个带量纲的比例常数。

4.1 以米为单位

若

则

此时锅口半径由

得

4.2 直接以厘米代入

若错误地把同一数值方程解释为厘米制，并令

则

体积为

这个锅只有 20 厘米宽，与前一个锅根本不是同一个几何物体。

矛盾来自方程不具尺度不变性，而不是积分计算错误。

5. 方法二：圆柱壳法

取距离 轴为 的竖直薄条，厚度为 。

绕 轴旋转后形成薄圆柱壳：

• 半径为 ；
• 周长为 ；
• 高度为

• 厚度为 。

所以

横坐标范围为

因此

与圆盘法结果相同。

6. 圆柱壳法的一般公式

区域

绕 轴旋转时：

其中：

7. 例 2：加热大锅里的水

令锅高

假设目标温度随高度线性变化：

摄氏度。

于是：

• 锅底 处为 ；
• 锅顶 处为 。

水平圆盘上的温度相同，因此使用圆盘法。高度 处：

横截面积为

若以单位体积的水每升高 需要 1 卡/立方厘米为近似，则热量积分的几何部分为

换算：

因此

若一块糖果约含 250 千卡，则相当于约

的能量。

严格说，讲义给定的 是从 加热到“底部 100、顶部 70”的非均匀目标温度所需能量；若所有水都最终达到 ，应改用常数温升 100。

8. 例 3：圆管中的泊肃叶流

半径为 的圆管中，流体速度随到中心轴的距离 变化：

中心处：

最大；管壁处：

这反映无滑移条件：流体在管壁处“粘住”，越靠近中心流得越快。

8.1 环带上的流量

半径 、厚度 的薄环带面积为

该环带通过的体积流率：

8.2 总流量

总流量与

成正比，因此管径稍微增加就能显著提高流量。

9. 例 4：飞镖盘

假设瞄准圆心，但落点并不完美。落点在平面上的密度只依赖于距圆心的半径 ，并与

成正比：

半径在

的环带内命中次数与

成正比。

这里

是环带面积。即使单位面积命中密度随 下降，较大半径处的环带面积也更大，所以半径分布必须同时考虑密度与几何面积因子。

令

可进一步算得

下一讲将继续研究这一概率模型。

10. 本讲要点

• 圆盘法：

• 圆柱壳法：

• 同一旋转体可用不同切片方式得到相同体积；
• 带物理单位的方程必须保持量纲一致；
• 积分可以累加温度、速度密度和概率密度等加权量；
• 泊肃叶流量呈 依赖，对管道半径极其敏感。