05-31-功平均值与概率

第 23 讲：功、平均值与概率

1. 从离散平均到连续平均

有限个数的算术平均为

现在要定义连续区间上函数值的平均。

把

等分成 段：

选取样本点 ，令

离散平均为

乘以并除以 ：

当 时，黎曼和趋于定积分，因此定义：

2. 例 1：半圆的平均高度

上半单位圆为

区间长度为 2，所以按横坐标均匀加权的平均高度为

积分就是半径为 1 的半圆面积：

因此

3. 例 2：常数函数的平均值

若

则

常数的平均仍是该常数。

4. 例 3：按弧长平均半圆高度

同一个上半单位圆可参数化为

单位圆上弧长元素为

按弧长均匀加权的平均高度为

这与按 均匀加权得到的

不同，因为两种平均使用不同权重。

5. 加权平均

若每个位置的权重密度为

则 的加权平均为

分子是“数值乘权重”的总和，分母是总权重。

普通平均对应

6. 例 4：女巫大锅中水的平均温度

上一讲的大锅由

绕 轴旋转形成。

6.1 总体积

高度 处的圆盘半径满足

圆盘横截面积：

所以总体积为

6.2 按体积加权的平均温度

温度为

按体积加权：

6.3 按高度均匀平均

若只对高度 做普通平均：

因为 关于 线性，这也等于两端温度的平均：

体积加权平均更低，是因为锅上部横截面更大，而上部水温更低；较冷的水获得了更大权重。

7. 飞镖盘问题

假设瞄准圆心，落点在平面上的密度为

其中 是距圆心的距离， 是归一化常数。

现在有人站在飞镖盘附近。把他近似为：

• 半径范围

• 只覆盖完整圆环的 ，即钟面 3 点到 5 点方向的扇形。

这里 是飞镖盘半径。

8. 极坐标环带权重

半径 、厚度 的完整薄环带面积为

因此该环带的概率权重为

概率等于“目标区域权重／全平面权重”：

常数 和 抵消：

9. 计算飞镖概率

因为

分母为

分子为

所以

10. 用“半数命中飞镖盘”确定尺度

假设投掷者落在飞镖盘内

的概率约为 。

径向累计概率：

令其等于 ：

于是

因此

即每支飞镖约有 1% 的概率击中该人。源讲义忽略 后得到约 ，同样约为 1%。

11. 高斯积分

计算重要积分：

该积分无法用初等原函数直接计算，但可以通过二维体积求出。

12. 第一种体积计算：圆柱壳

考虑三维曲面

下方、整个 平面上方的体积 。

半径 、厚度 的环带上：

• 周长为 ；
• 面积为 ；
• 高度为 。

所以

积分：

13. 第二种体积计算：平行切片

固定 ，用与 平面平行的薄片切割立体。令该截面面积为 。

体积为

固定 时：

这里 在该截面中是常数，所以 可提出积分号。

因此

因为积分变量名称不影响数值：

与第一种方法的

比较：

又因 ，所以

14. 正态分布的归一化

上式等价于

把变量按标准差 缩放，可得

因此

是均值为 0、标准差为 的正态分布概率密度。

更一般地，均值为 的正态密度是

15. 本讲要点

• 连续平均值：

• 加权平均：

• 二维径向概率必须包含环带面积因子 ；
• 同一三维体积用圆柱壳与平行切片计算，得到高斯积分；
• 关键结果：

• 这一结果给出正态分布密度中的归一化常数。