01-微积分基础

前言

中学基础，迅速过一遍吧…Latex语法调markdown语法折腾了一下午，麻了，凑合着看吧。什么？看不懂！？一头创死算了！！！

绝对值

既当,绝对值等于原值，当a<0时，绝对值等于原值的相反数

集合

一般来说⊆表示包含（两个集合可能相等），⊂表示真包含（两个集合不能相等）

基本概念

元素聚合起来便是集合

常用的实数集

1. N:全体自然数构成的集合
2. : N{0}，正整数集(N去掉0就是)
3. Z：全体整数构成的集合
4. Q：全体有理数构成的集合
5. R：全体实数集合
6. I：全体虚数集合
7. C：全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集

有理数和实数具有稠密性

即：

集合的表示法

1、例举法

2、描述法

研究集合A与集合B的关系

若集合A包含于集合B，表示为

注：

集合相等从而，若要证明A=B，只需证

空集

注：

集合运算

并∪：A∪B={x∈A或X∈B}

1. A∪B=B∪A
2. A∪A=A
3. A并∅=A
4. A(A∪B)，B(A∪B)
5. ABA∪B=B

交∩：

1. A∩B=B∩A
2. A∩A=A
3. A∩=
4. A∩BA，A∩BB
5. A

若一个集合含有所研究问题中涉及的全部元素，就称这个集合为“全空间”，记作,概率论中的全概率公式会用到

补集：

1. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
2. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

区间

(a,b)={x|a<x<b}

特殊的：

区间是集合，而不是不等式。

命题

充分条件和必要条件

p,q是命题

例：

释义：

充分条件

必要条件

总结：如果某个事项可作为另一个事项满足的条件，但非必须，可以有替代则称该条件为充要条件。如果某个事项必须由它满足，则称该事项为必要条件。

常用的充要条件：

全称量代词：和存在量词

设p(x)是与x相关的命题

全程命题：

存在命题：

如何对命题进行否定

例：原命题：

对命题进行否定时，

否定规则总结：

符号 ¬ 表示 逻辑否定，即“非”或者“不是”

1. 量词的否定：
2. 关系符号的否定：
   • ¬(a=b)≡a≠b
   • ¬(a>b)≡a≤b
   • ¬(a<b)≡a≥b

逆否命题

若p，则q的逆命题为若q，则p

逆否命题的真假与原命题一致，即若为真

要证明

举例：

假设原命题为：

• 原命题：如果下雨，则地面湿。
  • p: 下雨
  • q: 地面湿

原命题的符号表示为：p⇒q

逆命题是：¬q⇒¬p

即“如果地面不湿，则没有下雨”。

示例解释：

• 原命题：如果下雨（p），则地面湿（q）。
• 逆否命题：如果地面不湿（¬q），则没有下雨（¬p）。

逆否命题的符号：

• 如果原命题为 p⇒q，那么其逆否命题为：

¬q⇒¬p

它的符号表示就是“¬”和“⇒”组合起来。

基本算术公式

平方差公式

平方差公式

十字交叉公式

幂的运算规则

练习

化简：

指数的运算规则

为什么对数恒等式变形成立？

和平方与开方互为反运算是一个道理同样地，当你取一个正数a>0，它的自然对数是，再对它取指数就会返回原数：即

练习

算数几何平均不等式

恒等式

不等式

如何比较两个数的大小？

方法1：作差法

方法2：作商法

方法3：平方后作差

最值

情景1：已知x>0,y>0，xy=a，求x+y的最小值

情景2：已知x>0，y>0，x+y=b，求xy的最大值

例:

思路：先构造出a>0，b>0

一元二次方程

韦达定理

初等基本函数

基本概念

映射：没什么好说的

定义域D：一般来讲它是一个区间

值域I：f(x)求值的范围

一般来说D和f去定了，I也就随之确定了，一个函数最核心的要素就是D和f

单值函数与多值函数

只有1对1，或多对一的函数，我们成为单值函数。一对多我们称为多值函数。

求函数值域的思路

对于连续函数f(x)，只需要求出f(x)的最小值m和最大值M，值域I=[m,M]

特殊情况

取不到最大值：，值域I=（0,1）

单调性

相同单调增加，相反单调减少（同增异减）

奇偶性

奇函数的定义：

奇函数的图像是关于原点对称的

偶函数的定义：

偶函数图像是关于x方向对称的

幂函数：如

对数函数：是幂函数的反函数，例如

复反函数：

例如：

结论：单调函数一定有反函数，且单调的原函数与其反函数单调性相同

周期函数：略

例题

反函数

注意：这种叫做双曲正弦函数，它是偶函数，是一种特殊的悬链线

,这种叫做双曲余弦函数

复合函数

设函数y=f(u)的定义域为，函数u=g(x)在D上有定义，且确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D，u称为中间变量

解题思路：

解析：注意命题的包装，

注意：

几何向量

1. 曲线、直线、曲面、平面、空间提都是由点构成的，换句话说就都是点的集合
   1. 3个不共线的点可以确定一个平面
   2. 若一条直线的两个点都在一个平面内，则这条直线在这个平面内
   3. 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且仅有一条过该点的交线
   4. 若直线L1平行于L2，L2平行于L3，那么就可以得出L1平行

推论1：一条直线及直线外的1点可以确定一个平面

推论2：2条相交直线确定一个平面

推论3：2条平行直线确定一个平面

2. 三维空间中的点有3个自由度，x,y,z，对点p(x,y,z)若不加以约束，P可以出现在三位空间的任意地方

空间几何体

多面体、旋转体

柱体体积 V=sh

锥体体积 =

球体表面积

球体体积积

向量

三角函数

给定一个三角形：

基于上述关系，我们可以推出三角恒等式：

任意三角函数均已为周期

诱导公式

和角公式

倍角公式

三角有理积分常用的公式

余弦定理

正弦定理

同角关系

万能公式

辅助角公式

例题

反三角函数

例题2：

数列

• 等差数列：
  • 递推公式：
  • 通项公式：
  • 前n项和：
• 等比数列
  • 递推公式：
  • 通项公式：
  • 前n项和：

数学归纳法

数学归纳法是一种数学证明的方法，通常被用于证明某个命题在自然数范围内成立，其一般步骤如下：

第一步：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中推导处理在n=k+1时假设的原式成立

最后一步总结表述

例题

例题2:$设0

另一种解题思路

参考资料

普林斯顿微积分读本

维基百科