01-10-任何函数求导

对任何函数求导， 是指学习一套规则，使我们能够对由基本函数（如多项式、三角函数、指数函数）通过加、减、乘、除和复合运算构造出来的任何复杂函数进行求导。

这个过程主要依赖于七个核心的**求导法则。

---

核心求导法则

法则名称	作用	表达式	注意
1. 幂法则	用于形如 的函数。		底数是变量x，指数是常数n。
2. 常数法则	常数的导数永远为零。
3. 常数乘法法则	将常数因子提出来。
4. 和/差法则	对各项分别求导。
5. 乘积法则	对两个相乘的函数求导。
6. 商法则	对两个相除的函数求导。
7. 链式法则	对复合函数（函数里面套着函数）求导。		最先对输入变量x进行的操作，或被另一个函数包裹起来的表达式，例如求导后就是

三角函数求导法则

函数	导数	表达式
(正弦)	(余弦)
(余弦)	(负正弦)
(正切)	(正割平方)
(余切)	(负余割平方)
(正割)
(余割)
(反正切函数)

指数函数求导法则

函数	导数	表达式
（指数函数）
（ 对数函数）

示例讲解

我们将使用上述法则，结合一些基本函数的导数（如 和 ）。

示例 1: 幂法则、常数乘法与和法则

求函数 的导数。

• 应用法则： 使用和/差法则分别对各项求导，并使用常数乘法法则和幂法则。
• 求解过程：

解题思路

第1步：分解任务（使用和/差法则）

和/差法则告诉我们，对一个多项式求导，只需要对每一项分别求导，然后按原有的加减号连接起来。

现在，我们单独处理这四个部分：

第一部分：

应用法则：常数乘法法则 和 幂法则

1. 识别结构： 这是一个常数 乘以 。
2. 常数乘法法则： 将常数 提出来，只对 求导。

3. 幂法则 (针对 )： 这里的 。

4. 相乘得到结果：

其它项依次类推

第二部分：

应用法则：常数法则

1. 识别结构： 是一个常数。
2. 常数法则： 任何常数的导数都等于 。

---

第 三 步：组合结果

将四个部分的求导结果按照原有的加减号组合起来：

示例 2: 乘积法则

求函数 的导数。

• 识别结构： 这是两个函数 和 的乘积。
• 求导：
• 应用乘积法则：

解题思路

将 代入乘积法则公式 中：

最终结果

示例 3: 链式法则

求函数 的导数。

• 识别结构： 这是一个复合函数。
  • 外函数 :
  • 内函数 :
• 求导：
  • 外函数的导数
  • 内函数的导数
• 应用链式法则：

练习题

请您尝试使用商法则和链式法则求解以下函数的导数：

识别结构、

应用链式则：

对于，内函数：，内函数的导数：

那么对于

求导

、

应用商法则：

运用链式法则求解

求导

外部函数：

内部函数：

应用链法则：

组合结果：