01-10-任何函数求导

对任何函数求导， 是指学习一套规则，使我们能够对由基本函数（如多项式、三角函数、指数函数）通过加、减、乘、除和复合运算构造出来的任何复杂函数进行求导。

这个过程主要依赖于七个核心的**求导法则。

---

核心求导法则

法则名称	作用	表达式	注意
1. 幂法则	用于形如 的函数。		底数是变量x，指数是常数n。
2. 常数法则	常数的导数永远为零。
3. 常数乘法法则	将常数因子提出来。
4. 和/差法则	对各项分别求导。
5. 乘积法则	对两个相乘的函数求导。
6. 商法则	对两个相除的函数求导。
7. 链式法则	对复合函数（函数里面套着函数）求导。		最先对输入变量x进行的操作，或被另一个函数包裹起来的表达式，例如求导后就是

三角函数求导法则

函数	**导数 **	表达式
(正弦)	(余弦)
(余弦)	**** (负正弦)	****
(正切)	(正割平方)
(余切)	** (负余割平方)**
(正割)
(余割)
(反正切函数)

指数函数求导法则

函数	导数	表达式
** （指数函数）**	****	****
（ 对数函数）	****	****

示例讲解

我们将使用上述法则，结合一些基本函数的导数（如 和 ）。

示例 1: 幂法则、常数乘法与和法则

求函数 的导数。

• 应用法则： 使用和/差法则分别对各项求导，并使用常数乘法法则和幂法则。
• 求解过程：

解题思路

第1步：分解任务（使用和/差法则）

和/差法则告诉我们，对一个多项式求导，只需要对每一项分别求导，然后按原有的加减号连接起来。

现在，我们单独处理这四个部分：

第一部分：

应用法则：常数乘法法则 和 幂法则

1. 识别结构： 这是一个常数 乘以 。
2. 常数乘法法则： 将常数 提出来，只对 求导。

3. 幂法则 (针对 )： 这里的 。

4. 相乘得到结果：

其它项依次类推

第二部分：

应用法则：常数法则

1. 识别结构： 是一个常数。
2. 常数法则： 任何常数的导数都等于 。

---

第 三 步：组合结果

将四个部分的求导结果按照原有的加减号组合起来：

示例 2: 乘积法则

求函数 的导数。

• 识别结构： 这是两个函数 和 的乘积。
• 求导：
• 应用乘积法则：

解题思路

将 代入乘积法则公式 中：

最终结果

示例 3: 链式法则

求函数 的导数。

• 识别结构： 这是一个复合函数。
  • 外函数 :
  • 内函数 :
• 求导：
  • 外函数的导数
  • 内函数的导数
• 应用链式法则：

练习题

请您尝试使用商法则和链式法则求解以下函数的导数：

识别结构、

应用链式则：

对于，内函数：，内函数的导数：

那么对于

求导

、

应用商法则：

运用链式法则求解

求导

外部函数：

内部函数：

应用链法则：

组合结果：