功、平均值、概率

积分在平均值中的应用

你已经知道如何求一组离散数字的平均值：
或
现在，我们要求一个连续体的平均值。

$图 1：在 $a\le x\le b$ 上 $y=f(x)$ 的离散近似。$

$平均$

这个地方和,

以及

黎曼和的极限是

除以得到连续平均值

图 2：半圆的平均高度。

例 1. 求在区间上的平均值。（见图 2）
$平均高度$
例 2. 常数的平均值就是该常数本身

例 3. 求半圆上相对于弧长的平均高度。（使用，而不是。见图 3）

图 3：不同加权平均值。

$平均$
例 4. 求上节课女巫坩埚中水的平均温度。（见图 4）。

$图 4：$y=x^{2}$ 绕 y 轴旋转。$

首先，回顾如何用圆盘法求旋转体的体积。

回想一下且 ; 。每单位体积的平均温度是通过对高度为的圆盘赋予一个重要性或“权重” 来计算的。
分子是

分母是

因此，平均温度是：

将其与相对于高度求得的平均值进行比较：

是线性的。最大温度，最小温度，两者的平均值是

答案与普通平均值一致。加权平均值（相对于的积分）较低 ()，因为坩埚上半部分温度较低的水更多。
飞镖盘，再次回顾
上次我们说过，你射飞镖的准确性遵循“正态分布”：

现在，让我们假设有人，比如你的小弟弟，愚蠢地决定站在飞镖盘附近。他被飞镖击中的几率是多少？

$图 5：阴影部分是 $2r_{1}<r<3r_{1}$ 之间 3 点和 5 点钟方向的区域。$

为了使我们的计算更容易，我们把你的弟弟近似为一个扇形（图 5 中的阴影区域）。
你的弟弟并没有完全站在飞镖盘的前面。让我们说他站在离中心的距离，其中，是飞镖盘的半径。请注意，你的弟弟并没有围住飞镖盘。让我们说他覆盖了 3 点钟和 5 点钟方向之间的区域，即个环形区域。
记住

$概率部分整体$

图 6：环形积分。

环的权重是（见图 6）。飞镖击中你弟弟的概率是：

是我们对小弟弟站立的圆周部分的近似。（注：，而不是）
回顾

()
分母：

（注意当时，。）

图 7：正态分布。

$ 概率=\frac{\frac{1}{6}\int_{2r_{1}}^{3r_{1}}ce^{-r^{2}}2\pi r~~dr}{\int_{0}^{\infty}ce^{-r^{2}}2\pi r~~dr}=\frac{\frac{1}{6}\int_{2r_{1}}^{3r_{1}}e^{-r^{2}}r~~dr}{\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}r~~dr}=\frac{1}{3}\int_{2r_{1}}^{3r_{1}}e^{-r^{2}}r~dr $

$概率$

让我们假设扔飞镖的人大约有一半时间击中飞镖盘。（根据与 7 岁孩子的亲身经历，这是现实的。）

我们得到

所以，被一支飞镖击中你小弟弟的概率约为

换句话说，每扔一支飞镖，他被击中的几率大约是 1%。

通过切片求体积：一个重要的例子

计算

$图 8：$Q=$ 曲线 $e^{(-x^{2})}$ 下的面积。$

这是微积分中最重要的一些积分之一。它在概率和统计学中尤为重要。
这是一个反常积分，但不要让那些吓到你。在这个积分中，它们实际上比有限数更容易处理。
为了找到，我们首先找到一个旋转体的体积，即
下的体积（）
我们通过薄壳法找到这个体积，这会得到与上一个问题相同的积分。
半径为的下的薄壳或圆柱体的周长是，厚度是；（见图 9）。
因此。在范围内。