06-2-矩阵平面直线与参数曲线

Week 2：矩阵、平面、直线与参数曲线

本周包含 2007 年 9 月 11、13、14 日的第 3–5 讲。

第 3 讲：平面的方程与矩阵

叉积的两个性质

第一式表示交换叉积次序会反向；第二式表示一个向量与自身张成的平行四边形面积为零。

经过三点的平面

给定三个不共线点

向量

位于所求平面内。平面的法向量可取

任意点 位于平面内，当且仅当

等价地：

前一个方程表示 与法向量垂直；后一个方程表示三个向量共面，二者给出同一个平面方程。

矩阵表示线性坐标变换

实际问题中，多个量经常通过线性变换联系起来。例如把坐标

变为更适合问题的新坐标

其中

矩阵形式为：

即

矩阵乘积中的每个元素，都是左矩阵的一行与右矩阵的一列的点积。

矩阵乘法及变换复合

要使 有定义， 的列数必须等于 的行数。

如果 把 变为 ，再由 作用，则：

因此 表示先应用 ，再应用 。矩阵的乘法次序与变换的执行顺序是从右向左的。

矩阵乘法一般不满足交换律：

有时由于尺寸不匹配，两者中甚至只有一个有定义。

单位矩阵与旋转矩阵

单位矩阵表示恒等变换：

三阶单位矩阵为：

二维矩阵

表示逆时针旋转 。例如：

连续旋转两次得到：

即旋转 。

逆矩阵

方阵 的逆矩阵记为 ，满足：

它表示原线性关系的逆变换。如果

且 可逆，则：

余子式法求逆矩阵

对小型矩阵，可用伴随矩阵公式：

步骤为：

1. 删除第 行和第 列，计算相应子式；

2. 按棋盘符号

   得到余子式矩阵；

3. 转置余子式矩阵，得到伴随矩阵；

4. 除以 。

对

讲义得到：

所以

余子式法适合手算小矩阵；大型数值问题通常使用消元或矩阵分解。

第 4 讲：平面与三元线性方程组

经过原点的平面

一般方程

表示一个平面，其法向量为

例如，经过原点且法向量为

的平面满足：

即

平面方程中 的系数就是法向量的分量。

经过指定点的平面

若平面经过

并有同一个法向量 ，则：

因此：

化简为：

它与前一个平面平行。平面方程整体乘以任意非零常数，不会改变所表示的平面。

所以，寻找平面方程的关键是先找到法向量；若已知平面中的两个方向向量，可用它们的叉积求法向量。

向量与平面的相对位置

考虑向量

和平面

平面法向量是

由于

与法向量垂直，因此 平行于该平面。

若向量与 成比例，它才垂直于平面。

三元线性方程组的几何解释

一个 方程组表示三个平面的公共交集。通常：

• 前两个平面相交于一条直线；
• 第三个平面再与该直线相交于一个点；
• 因而方程组有唯一解。

若

且 可逆，则：

特殊情形包括：

• 前两个平面的交线包含在第三个平面内：有无穷多个解，形成一条直线；
• 该交线平行于第三个平面且不在其中：无解；
• 三个方程表示同一个平面：有一个平面的无穷多个解。

这些非唯一情形都对应：

准确的可逆判别为：

齐次方程组

齐次系统

对应所有平面都经过原点，因此总有平凡解：

若

则平凡解是唯一解：

若

则存在无穷多个解，解集形成经过原点的直线或平面。

把三个平面法向量记为

表示：

也就是三个法向量共面。若三个平面相交于一条直线，这条解直线垂直于法向量所在平面；其方向可由

给出。

一般非齐次系统 可看成把齐次系统的各平面平行移动：

• ：有唯一解；
• ：可能无解，也可能有无穷多解。

消元法能够进一步区分后两种情形。

第 5 讲：直线与一般参数曲线

空间直线的参数方程

直线可以看成两个平面的交线，也可以看成一个运动点的轨迹。

设直线经过：

方向向量为：

令运动点 在 时位于 ，在 时到达 。则：

参数方程为：

向量形式为：

直线与平面相交

考虑平面：

在 处：

在 处：

所以 位于平面的两侧。

把直线参数方程代入平面方程：

相交条件为：

所以

交点为：

若代入后得到一个与 无关的常数：

• 常数等于平面方程右端：整条直线都在平面内，所有 都是解；
• 常数不等于右端：直线平行于平面且不相交，无解。

一般参数曲线：摆线

一个半径为 的圆沿水平地面无滑动滚动。取圆周上一点 ，其轨迹称为摆线。

用圆转过的角度 作为参数。无滑动意味着圆心的水平位移等于轮缘滚过的弧长：

设初始时 位于原点。把位置向量分解为地面接触点、圆心和轮缘半径的贡献，可得：

即：

摆线尖点附近的行为

在 附近，Taylor 展开为：

因此：

于是：

当 时：

这说明摆线在最低点形成尖点，其切线为竖直方向。