06-8-变量替换向量场与线积分

Week 8：变量替换、向量场与线积分

本周包含 2007 年 10 月 23、25、26 日的第 18–20 讲。

第 18 讲：二重积分中的变量替换

椭圆面积

求半轴为 的椭圆：

的面积。

令：

则：

且：

椭圆被变为单位圆盘：

因此：

比例因子 表示该线性变换把面积放大了 倍。

线性变量替换的面积缩放

设：

一个 平面中的单位正方形，在 平面中变成由向量

张成的平行四边形。

其面积为：

所以：

Jacobian

对一般变换：

在很小区域内可用线性近似：

小矩形被近似映射成小平行四边形，面积比例由导数矩阵的行列式给出。

定义 Jacobian：

面积元满足：

反向写为：

绝对值是必需的，因为面积非负；行列式符号只反映方向是否反转。

极坐标 Jacobian

Jacobian 为：

所以再次得到：

示例：

计算：

并用变换：

Jacobian：

所以：

被积式变为：

原单位正方形在 平面中变为三角形。因为

有：

若先对 积分：

因此：

计算得：

第 19 讲：向量场、功与线积分

向量场

二维向量场写为：

平面中的每个点 都对应一个向量。

典型例子：

• 速度场，如风场和流体速度；
• 力场，如引力场和电场。

讲义中的示例包括：

1. 常向量场

2. 水平方向随 改变

3. 径向向外

4. 逆时针旋转场

最后一个向量 是 逆时针旋转 的结果。

功与线积分

在很短位移 上，力所做的功近似为：

沿曲线 的总功定义为线积分：

若曲线参数化为：

则：

最终总会化成一元积分。

参数化示例

取：

曲线：

则：

点积：

所以：

线积分的值不依赖于采用哪一种保持方向的光滑参数化。例如也可用：

得到相同结果。实际计算应选择最简单的参数化。

微分形式记号

若：

则：

所以：

这不是分别对 和 做两个普通积分。必须沿同一曲线 把 全部写成同一个参数的函数。

本例中：

因此：

弧长形式

由：

可得：

这说明只有力在轨迹切向上的分量做功。

若 是以原点为中心、半径为 的圆：

1. 对径向场

   力与切向量垂直：

   所以环路积分为零。

2. 对旋转场

   逆时针方向上：

   圆周长为 ，所以：

   $$
   \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r

   a(2\pi a)

   \boxed{2\pi a^2}.
   $$

第 20 讲：线积分、势函数与路径无关性

扇形边界示例

令：

是单位圆盘中角度从 到 的扇形边界，按逆时针方向。

要求：

第一段 ：沿 轴

所以：

第二段 ：单位圆弧

因此：

第三段 ：径向返回原点

这条线满足 ，但方向从

回到原点。沿此段：

总和为：

梯度场与线积分基本定理

若向量场是某个标量函数 的梯度：

则 称为势函数。

若曲线 从 到 ，线积分基本定理为：

微分形式为：

证明：若 ，则由链式法则：

积分即得端点差。

在扇形例子中：

所以势函数是：

每一段积分都可直接用端点的 值之差计算。

路径无关性

对梯度场，如果 有相同起点和终点：

所以积分只依赖端点，而与具体路径无关。

保守性

若 是闭曲线，起点等于终点：

这称为保守性。

但这些结论只适用于梯度场。旋转场

沿半径 的逆时针圆周有：

所以它不是梯度场，也不是保守场。

物理解释

若力场：

则力所做的功等于势函数的变化：

在物理学中更常采用：

其中 是势能，因此：

保守性意味着沿闭合路径不能净提取能量，与机械能守恒相联系。

四个等价性质

在适当定义域条件下，下列性质等价：

1. 是保守场：

   对所有闭曲线成立；

2. 线积分路径无关；

3. 是梯度场：

4. 微分形式

   是恰当微分：

若已知路径无关，可以选定基点 ，定义：

因为积分与路径无关，这一定义良好，并给出势函数。