06-10-单连通区域与三重积分导论

Week 10：单连通区域与三重积分导论

对应独立内容源文件：平面上的二重积分和线积分_lec_week10.pdf。
三维空间中的三重积分和曲面积分_lec_week10.pdf 与其字节及 SHA-256 哈希完全相同，是重复副本。
本讲义共 4 页（第 1 页为课程信息页），包含 2007 年 11 月 6、9 日的第 24–25 讲。

第 24 讲：单连通区域与第三次考试复习

Green 定理回顾

若 是包围区域 的逆时针闭曲线：

对：

二维旋度为：

对：

二维散度为：

Green 定理要求向量场在整个区域 内定义并连续可微，而不仅仅是在边界 上有定义。

一个含奇点的旋转场

考虑：

在原点之外：

若 是逆时针单位圆，直接计算得到：

但如果误用 Green 定理似乎会得到：

矛盾的原因是：单位圆盘 包含原点，而 在原点没有定义，因此 Green 定理的条件不满足。

单连通区域

定义：平面区域 称为单连通，如果 中任意闭曲线所围成的内部也完全包含在 中。

直观上，单连通区域没有洞。

若向量场在一个单连通定义域中连续可微，那么只要闭曲线 位于定义域内， 的内部也在定义域内，Green 定理可以安全使用。

去掉原点的平面：

不是单连通区域。

环形区域上的 Green 定理

虽然不能把 Green 定理直接用于包含奇点的圆盘，但可以用于避开原点的环形区域。

取：

• 外圆 逆时针；
• 内部小圆 按区域正向边界应顺时针；
• 两条径向连接线互相抵消。

环形区域内：

所以：

这意味着：

也就是说，任何绕原点一次的逆时针闭曲线都有相同积分 。积分检测的是曲线绕奇点的环绕数，而不是局部旋度。

第三次考试复习

二重积分

需要掌握：

• 画出区域；

• 用竖直或水平切片设置累次积分；

• 交换积分次序；

• 极坐标：

• 质量、质心与转动惯量。

计算时需掌握基本积分和简单代换。例如：

令：

复杂三角积分和分部积分不作为本次考试重点。

变量替换

步骤：

1. 计算 Jacobian：

2. 把被积函数改写为 ；

3. 在 平面中画出新区域并设置界限。

线积分

计算时，把 全部用同一个参数表示。

梯度场

在单连通定义域中：

若找到势函数 ，可用线积分基本定理：

通量

还需掌握 Green 定理的环流与通量两种形式。

第 25 讲：三重积分

定义

三重积分：

是把三维区域 划分为小体积元后进行求和的极限。

当 时：

直角坐标中：

或任意其他积分次序。

两个抛物面之间的体积

区域位于：

与：

之间。

固定 后：

要使上界不低于下界：

即：

所以在 平面上的投影是半径 的圆盘。

直角坐标形式为：

极坐标更简单：

若继续计算：

柱坐标

柱坐标为：

其中：

• 是到 轴的距离；
• 是 平面中的方位角；
• 是高度。

半径为 、轴为 轴的圆柱面为：

柱坐标体积元：

这是因为底面极坐标面积元为 ，再乘高度 。

三重积分的物理应用

质量

若体密度为 ：

平均值

普通平均：

密度加权平均：

质心

对关于 轴对称的区域和密度：

转动惯量

关于 轴：

关于 轴：

关于 轴：

圆锥的转动惯量

考虑密度 的圆锥：

与水平面：

之间的实体。

固定 时，截面圆盘满足：

所以：

计算：

平面切球所得球冠区域

考虑：

且：

下界为平面：

上界为单位球上半部：

要使区域存在：

两边非负，平方后：

即：

所以：

三重积分可设置为：