06-12-散度定理del算子与扩散方程

Week 12：散度定理、del 算子与扩散方程

内容为 2007 年 11 月 20 日第 29 讲。

散度定理回顾

若闭曲面 取外法向，向量场 在整个 内连续可微，则：

del 算子

del 算子是一个符号向量：

它本身不是普通数值向量，而是微分算子的记号。

对标量函数 ：

是梯度。

对向量场：

点积：

是散度。

因此散度定理也写成：

散度的物理意义

散度表示单位体积内的源强度，也就是单位体积、单位时间产生的净外向通量。

设 是不可压缩流体的速度场。闭曲面 包围区域 。则：

是单位时间离开 的净流体体积。

散度定理把它表示为：

即 内所有源减去汇的总量。

散度定理的证明思路

要证明：

可按三个分量分别证明。这里只证明竖直分量：

竖直简单区域

设：

右边：

顶面通量

顶面 的外法向向上：

因此：

底面通量

底面 的外法向向下：

所以：

侧面通量

侧面的法向量是水平的，而 是竖直的，因此：

顶面、底面和侧面相加，恰好得到右边的积分。

一般区域可分解成许多竖直简单区域。内部公共曲面的通量方向相反，互相抵消；体积分直接相加。对 分别使用沿 方向简单的分块，即完成证明。

扩散方程

扩散方程描述静止介质中烟雾、染料、溶质或热量的传播。

令：

表示烟雾浓度或温度。

扩散方程为：

即：

物理输入 1：Fick/Fourier 定律

物质或热量从高浓度（高温）流向低浓度（低温），变化越陡，流动越快：

负号表示流向与梯度方向相反。

物理输入 2：局部守恒

对任意固定区域 ，其边界为 。向外通量等于内部总量减少率：

若可在积分号下求导：

另一方面，由散度定理：

所以对任意 ：

令区域收缩到一点，得到局部守恒方程：

代入：

得到：

这就是扩散方程；当 表示温度时，它也是热方程。