08-7-二重积分极坐标与质量性质

Week 7：二重积分、极坐标与质量性质

本周包含 2007 年 10 月 18、19 日的第 16–17 讲。

第 16 讲：二重积分

从一重积分到二重积分

在一元微积分中：

可解释为曲线 在区间 上方或下方的带符号面积。

对二元函数 ，区域 上的二重积分：

可解释为曲面 与平面区域 之间的带符号体积。

把 划分成许多小块，面积为 ，并在第 块中取样点 。体积近似为：

当分割越来越细：

和式的极限定义二重积分。

累次积分

计算二重积分时，可以用竖直切片。固定 ，在与 平面平行的截面中：

是该截面的带符号面积。再对 积分：

因此：

内层积分中， 是固定参数， 是积分变量。

示例 1：单位正方形

计算：

内层积分：

外层积分：

所以：

这里 ，因为小矩形面积近似为 。

示例 2：第一象限四分之一圆盘

仍取：

但区域改为：

固定 后：

而：

因此：

内层积分为：

所以：

若直接用代换 ，还要处理 ，计算较繁。下一讲用极坐标会立即得到：

交换积分次序

矩形区域中，交换积分次序很直接：

对一般区域，需要：

1. 画出积分区域；
2. 看清原积分的切片方向；
3. 改用另一个方向切片；
4. 重新写出内外积分界限。

考虑：

内层积分没有初等原函数。原区域为：

改用水平切片。由

以及

得：

所以：

先对 积分：

于是：

交换积分次序把一个无法直接计算的内层积分转化成了初等积分。

第 17 讲：极坐标积分

极坐标变换为：

当被积函数或区域具有圆形、扇形或径向对称性时，极坐标通常更简单。

面积元

一个很小的极坐标网格块近似为矩形：

• 径向边长为 ；
• 圆周方向边长为 。

所以：

取极限得到：

因子 不能省略。

四分之一圆盘示例

对第一象限单位四分之一圆盘：

并且：

所以：

内层积分：

外层：

这比直角坐标中的三角代换简单得多。

一般设置

时，固定 ，沿该射线寻找进入和离开区域时的 值；再确定扫过整个区域的角度范围。

二重积分的应用

面积

区域 的面积为：

质量

若平面薄片面密度为：

则总质量为：

均匀材料对应常数密度。

平均值

函数 在区域 上的平均值为：

质心

质量薄片的质心是位置的密度加权平均：

若密度恒定，质心就是区域的几何形心。

转动惯量

转动惯量是转动问题中与质量相对应的量。单个质量 位于距转轴 处，以角速度 转动，其速度为：

动能：

因此单个质点关于转轴的转动惯量为：

连续薄片关于原点的转动惯量为：

关于任意轴：

例如关于 轴：

圆盘示例

半径为 、密度 的圆盘关于圆心的转动惯量：

若转轴垂直于圆盘并经过圆周上一点，可把极坐标原点放在该点。此时圆的极坐标方程为：

所以：

这也与平行轴定理一致。