08-9-旋度Green定理通量与散度

Week 9：旋度、Green 定理、通量与散度

本周包含 2007 年 10 月 30 日、11 月 1–2 日的第 21–23 讲。

第 21 讲：梯度场判别与旋度

梯度场的必要条件

设二维向量场：

如果 是梯度场：

则：

在混合偏导连续时：

所以梯度场必满足：

反过来，如果 在整个平面或单连通区域内处处定义、连续可微，并满足

则 是梯度场。

定义域条件不能省略；含“洞”的区域将在 week 10 进一步讨论。

示例

旋转场：

这里：

二者不等，所以该场不是梯度场。

再考虑：

有：

要使它成为梯度场，必须：

求势函数的两种方法

令 ：

方法 1：用线积分定义势函数

若从 到 取任意路径 ，则：

选择最简单的折线路径：

1. 沿 轴从 到 ；
2. 再竖直走到 。

第一段 上，：

第二段 上，：

因此：

方法 2：逐步求原函数

要求：

先对 关于 积分，把 当常数：

这里“积分常数”可以依赖 。对 求偏导：

与给定的 比较：

所以：

再次得到同一个势函数。

旋度

二维向量场的标量旋度定义为：

在适当定义域中：

对速度场，旋度衡量局部旋转倾向，并等于局部刚体角速度的两倍。

例如：

• 均匀平移场 ：旋度为零；

• 径向膨胀场 ：旋度为零；

• 单位角速度旋转场 ：

  $$
  \operatorname{curl}\mathbf F

  1-(-1)=2.
  $$

对力场，旋度可理解为作用在小试验物体上的局部转矩密度趋势。

第 22 讲：Green 定理

设 是按逆时针方向绕行的简单闭曲线，包围区域 。若

在 及其边界上连续可微，则 Green 定理为：

即：

它把闭曲线上的线积分转化为区域上的二重积分。

示例：用 Green 定理简化线积分

令 是以 为圆心、半径为 1 的逆时针圆周， 为其内部圆盘。计算：

这里：

所以：

Green 定理给出：

圆盘关于直线 对称，其形心坐标：

面积为 ，所以：

直接参数化圆周会出现含指数和三角函数的复杂积分，而 Green 定理立即给出结果。

用 Green 定理证明梯度场判别

若：

且 在整个闭曲线内部定义良好，则：

因此 是保守场，进而存在势函数。

但若场在 内某点没有定义，就不能这样应用 Green 定理。即使旋度在定义域内处处为零，绕奇点的闭曲线积分仍可能非零。

Green 定理证明思路

Green 定理可拆成两个公式：

两式相加即得完整定理。

可加性

若区域 被分为 ，对每一块定理成立，则对并集也成立。内部公共边界被两个小区域以相反方向走过，线积分互相抵消；二重积分则直接相加。

对竖直简单区域证明第一式

设：

边界按逆时针方向分成下边、右边、上边、左边。

在两条竖直边上 ，所以对 没有贡献。下边从 走到 ，上边从 走回 ：

另一方面：

与边界积分相同。

任意合理区域都可拆成竖直简单区域，因此由可加性得到第一式。第二式对水平简单区域作类似证明。

用线积分计算面积

取 ，则：

所以：

也可选择其他等价形式，例如：

或：

机械式求积仪（planimeter）正是通过沿纸面区域边界运动，并机械实现某种线积分来测量面积。

第 23 讲：通量与散度

平面曲线的通量

设曲线 有单位切向量 。把它顺时针旋转 ，得到单位法向量 。

向量场 穿过 的通量定义为：

现在有两种线积分：

• 功：

  累加沿曲线切向的分量；

• 通量：

  累加穿过曲线的法向分量。

若 是流体速度场，通量表示单位时间内穿过曲线的净流量。正负取决于所选法向。

圆周示例

令 是半径 的逆时针圆周。

对径向场：

沿圆周有：

所以：

对旋转场：

场始终沿切向，因此法向分量为零，通量为零。

通量的微分形式

顺时针旋转 ：

若：

则：

所以：

计算时仍需把 全部写成同一个参数。

Green 定理的通量形式

二维散度定义为：

若 按逆时针方向包围 ，此时右侧法向是区域的外法向。Green 定理的通量形式为：

证明只需在环流形式中令：

则：

对 ：

所以任意半径 的圆盘：

即使把圆盘平移到别处，只要半径不变，总通量仍相同。

对不可压缩流体，散度衡量单位面积、单位时间内的源或汇强度：

• 正散度：局部有流体产生或向外膨胀；
• 负散度：局部有流体消失或向内汇聚；
• 零散度：局部无净体积产生。