08-11-球坐标空间向量场与曲面积分

Week 11：球坐标、空间向量场与曲面积分

本周包含 2007 年 11 月 13、15、16 日的第 26–28 讲。

第 26 讲：球坐标

球坐标记为：

其中：

• ：点到原点的距离；
• ：从正 轴向下量的极角；
• ：与柱坐标相同，是 平面中的方位角。

球坐标与柱坐标之间：

所以：

反向关系：

几何意义：

• ：以原点为球心、半径 的球面；

• ：正 轴；

• ： 平面；

• ：负 轴；

• ：圆锥面

在球面上， 类似纬度，但从北极起算； 类似经度。

球面面积元

半径为 的球面上，一小块由 张成：

• 南北方向弧长约为

• 东西方向所在纬圈半径为

  因而弧长约为

所以：

取极限：

球坐标体积元

一小块球壳体积约为表面积元乘径向厚度 ：

因此：

球冠体积

求单位球中平面

以上部分的体积。

球坐标中平面方程为：

所以：

区域边缘同时满足 ，因此：

积分为：

计算结果：

这也等于球冠公式

引力的体积分

位于原点的试验质量 ，受到位于 的小质量 的引力。令：

力的大小为：

方向沿：

所以：

若实体密度为 ，则：

总引力：

例如 分量：

若实体关于 轴对称，水平分量由对称性抵消：

球坐标中：

所以：

径向幂次完全约掉，使计算大幅简化。

Newton 球壳/球体结论的示例

均匀球形行星半径为 、密度为 ，球心在正 轴上，球面在原点与 平面相切。试验质量 位于原点。

该球面在以试验质量为原点的球坐标中满足：

因此：

球的质量：

试验质量到球心距离为 ，故：

与积分结果相同。这说明在球外，均匀球体的引力与把全部质量集中在球心的点质量相同。

第 27 讲：三维向量场与通量

三维向量场为：

例子包括：

• 引力场

• 电场与磁场；

• 流体速度场；

• 温度和压力的梯度场。

曲面通量

二维中，通量穿过曲线；三维中，通量穿过曲面。

设 是定向曲面，单位法向量为 。通量定义为：

记向量面积元：

则：

曲面有两个法向方向，必须选择正向。

若 是流体速度场，则通量表示单位时间内穿过 的净体积流量。一小块曲面 在单位时间内扫出的平行六面体体积为：

示例 1：径向场穿过球面

设：

为原点中心、半径 的球面，取外法向。

所以：

球面积为 ，故：

示例 2：竖直场穿过球面

设：

在球面上：

使用：

所以：

常见曲面的向量面积元

1. 水平平面

2. 原点中心球面

取外向，且：

3. 轴圆柱面

取外法向：

参数为 ，面积元：

4. 函数图像

对：

取向上法向时：

第 28 讲将推导该公式。

第 28 讲：图像曲面与参数曲面的通量

图像曲面的向量面积元

设：

当 增加 时，曲面上的切向边近似为：

当 增加 时：

二者叉积：

因此：

正号对应向上方向。

单位法向量：

标量面积元：

抛物面通量示例

曲面：

位于单位圆盘上方，取向上法向。向量场：

所以：

用极坐标：

一般参数曲面

若：

参数化曲面，则参数小矩形映射成由：

张成的平行四边形。

所以：

标量面积元：

隐式曲面

若曲面由：

定义，则：

是非单位法向量。

单位法向：

若投影到 平面，且 ，则：

向量面积元：

其中符号与方向选择相配。

对于图像：

恢复前面的图像公式。

如果曲面在某处竖直，则 ，不能投影到 平面；可改投影到 或 平面。

散度定理导论

设闭曲面 包围三维区域 ，法向取外向。若 在整个 内连续可微，则：

对：

这是 Green 定理通量形式的三维版本，也称 Gauss-Green 定理。

例如：

半径 的球面向外通量为：

与直接曲面积分一致。

物理上，散度是单位体积的源强度。散度定理说：从闭曲面流出的净通量，等于内部所有源与汇的总量。