08-线性变换及其矩阵

第八部分：线性变换及其矩阵

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本部分内容

• 8.1 线性变换的例子
• 8.2 微分矩阵 与积分矩阵
• 8.3 给定定义域和值域的基，构造线性变换 的矩阵

8.1 线性变换的例子

设 是向量空间。其中的“向量”不一定是普通坐标向量，也可以是矩阵或函数。

映射

把输入空间 中的向量映射到输出空间 。若对任意 和任意标量 ，都有

则称 是线性变换。

例 1：平面旋转

令

把平面绕原点旋转一个固定角度 。直线仍被映射为直线，原点保持不动。

事实上，线性条件要求

因此必有

这个变换可逆；其逆变换

是旋转角度 ，也仍是线性变换。

例 2：取矩阵的对角部分

令输入空间和输出空间都是全体 矩阵组成的向量空间。定义

即保留 的主对角元素，把所有非对角元素变为零。

对已经是对角矩阵的输出再次应用 ，矩阵不会改变，因此

这说明 是矩阵空间上的一个投影。

线性变换的复合

如果 的输出空间就是 的输入空间，则可定义复合变换

其作用为

这与矩阵乘法的次序完全相同：先作用右边的变换，再作用左边的变换。

例 3：微分与积分

令

定义

微分是线性变换：

积分在适当的函数空间和固定积分常数约定下也是线性变换。微积分能够以矩阵和向量空间的方式组织，正是因为这两个基本运算具有线性。

8.2 微分矩阵 与积分矩阵

给输入空间 选择基

给输出空间 选择基

对输入基向量逐个求导：

把这些输出在基 下的坐标放入矩阵的各列，得到微分矩阵：

因此

它正好把多项式 的系数变为导数 的系数。

积分变换

定义从 回到 的积分变换 ，并选择积分常数为零：

因此积分矩阵为

微积分基本定理说明，先积分再微分会恢复原函数：

所以 是 上的恒等变换。

反过来：

这不是 上的恒等变换，而是把常数项删除的投影。原因是

微分会丢失常数信息。

因此 不是 的普通逆矩阵，而是它的伪逆：

它满足

而

是 上投影到非恒定多项式子空间的投影矩阵。

8.3 从基构造线性变换的矩阵

每个有限维线性变换

都可以用一个矩阵表示，但这个矩阵取决于 和 中所选择的基。

设输入空间 的基为

输出空间 的基为

对每个输入基向量 ，把 按输出基展开：

这些系数构成矩阵 的第 列：

对任意输入

利用线性性：

若

是 在输入基下的坐标，则

正是 在输出基下的坐标。

核心结论是：

矩阵乘法 完整复制了线性变换 的作用。

两者都具有线性；只要它们在一组基向量上的作用相同，就会在所有输入向量上的作用都相同。

换基

现在把输入基改为

把输出基改为

令矩阵 把新输入基坐标转换到旧输入基坐标，矩阵 把新输出基坐标转换到旧输出基坐标。则同一个线性变换 在新基下的矩阵为

其坐标流向是：

当定义域和值域相同，并且两边使用同一个新基 时，换基公式成为相似变换：