1. 两参数模型：疟疾与镰状细胞基因
20 世纪 50 年代的一项研究向 30 名非洲“志愿者”接种疟疾。原讲义用引号标注“志愿者”，提示该历史研究的知情同意与伦理背景值得质疑。
记：
数据为：
| 合计 | |||
|---|---|---|---|
| 2 | 13 | 15 | |
| 14 | 1 | 15 | |
| 合计 | 16 | 14 | 30 |
定义
假设所有受试者在给定组别与参数后条件独立，则似然为
其中
假设不再是单个参数，而是参数对
2. 二维离散假设表
为简化计算，让两个参数都只取
这样共有
镰状细胞基因对应的保护程度可用
衡量：
- 差值很大：强保护；
- 差值为正：存在一定保护；
- 差值为 0：无保护差异；
- 差值为负：携带者反而风险更高。
似然在大约
附近最大，与样本比例
方向一致。
3. 平坦二维先验与后验
若 36 个离散参数对先验等可能，则
两个边缘先验都在六个候选值上均匀：
平坦先验下，后验正比于似然。讲义给出的主要后验质量为：
| 0.2 | 0.4 | 0.6 | |
|---|---|---|---|
| 0.8 | 0.88075 | 0.08370 | 0.00097 |
| 0.6 | 0.03139 | 0.00298 | 0.00003 |
| 0.4 | 0.00016 | 0.00002 | 近 0 |
其余格子均为 0 或极接近 0。
边缘后验约为
以及
由彩色区域求和：
因此，在该离散模型和平坦先验下，数据对“携带基因具有保护作用”提供了极强支持。
4. 连续的二维参数
更自然的模型允许
联合先验密度为
后验为
区域概率由二重积分给出。例如：
离散表格中的“对彩色格子求和”在连续模型中变成“在彩色区域上积分”。
5. 两种新生儿呼吸衰竭治疗
两种治疗：
- CVT：常规治疗，包括过度通气与药物；
- ECMO：体外膜肺氧合，是侵入性治疗。
Michigan 研究：
- ECMO：
存活； - CVT：
存活。
之后 Harvard 随机研究：
- ECMO：
存活； - CVT：
存活。
定义
只考虑候选值
6. 用早期研究构造信息先验
初始平坦先验在 16 个参数对上各为
Michigan 数据的似然核为
因此可把
作为分析 Harvard 数据的信息先验。
在 4×4 网格上归一化后，大部分先验质量集中在
| 0.125 | 0.375 | 0.625 | 0.875 | |
|---|---|---|---|---|
| 0.125 | 近 0 | 近 0 | 近 0 | 近 0 |
| 0.375 | 近 0 | |||
| 0.625 | 0.001155 | 0.000421 | 0.000091 | 0.000003 |
| 0.875 | 0.690377 | 0.251595 | 0.054345 | 0.002013 |
这反映 Michigan 数据对“ECMO 高存活率、CVT 低存活率”的强烈倾向。
7. Harvard 似然与信息后验
Harvard 数据的似然核为
用信息先验更新：
在所选网格上，归一化后主要质量为：
| 0.125 | 0.375 | 0.625 | 0.875 | |
|---|---|---|---|---|
| 0.125 | 近 0 | 近 0 | 近 0 | 近 0 |
| 0.375 | 近 0 | 近 0 | 近 0 | 近 0 |
| 0.625 | 近 0 | 近 0 | 近 0 | 近 0 |
| 0.875 | 0.008945 | 0.618610 | 0.371166 | 0.001278 |
因此
在该粗网格上，差值至少 0.6 只包含参数对
所以
“ECMO 更好”的后验概率极高，但“至少好 0.6”是更强的主张，后验概率很低。
8. 选择先验的原则
先验可以来自：
- 以前的实验或历史数据；
- 专家知识；
- 物理或生物学约束；
- 对称性或可交换性；
- 弱信息正则化；
- 明确的主观判断。
使用旧数据构造先验时应检查：
- 旧研究与新研究是否针对同一总体；
- 治疗、测量和入组标准是否可比；
- 是否把同一数据既用于先验又用于似然，造成重复计算；
- 早期小样本是否使先验过度集中；
- 结论对其他合理先验是否敏感。
9. 概率区间
若
则
用
例如：
是中心 50% 概率区间；
也是 50% 概率区间，但不对称；
是中心对称尾概率的 90% 区间。
同一概率水平通常存在许多区间。必须说明使用的是：
- 等尾区间；
- 中心区间；
- 对称区间；
- 或最高后验密度区间。
10. 贝叶斯更新中的概率区间
可以分别为先验与后验计算概率区间：
数据通常使后验更集中，所以同一概率水平下，后验区间往往更短。但若数据与先验冲突或模型具有复杂多峰结构，区间位置和形状也可能发生显著变化。
概率区间可以：
- 简洁概括当前对参数的认识；
- 比单个点估计更充分地表达不确定性；
- 帮助专家把主观知识转换为先验；
- 比较数据更新前后的不确定性。
将 80% 概率区间改为包含 90% 概率，在保持同类构造方式时必须向外扩展，而不是缩小。
11. 正态分布的概率区间
对
中心等尾区间包括：
对
只需线性变换：
给出中心
不对称的同概率区间通常比对称中心区间更长；对单峰对称正态分布，中心区间也是最短的同概率区间。
12. Beta 分布的概率区间
讲义用
展示 50%、68% 与 90% 概率区间。Beta 分布可能偏斜，因此：
- 等尾区间通常不关于均值或众数对称；
- 最高密度区间可能比等尾区间更短；
- 区间必须通过 Beta CDF 的分位数求得。
例如中心
13. 用主观区间校准先验
课程让每位学生为若干未知数量给出自己的 50% 概率区间，即主观的
如果判断校准良好，在许多类似问题中，真实值应约有一半落入自己给出的 50% 区间。若命中率远低于 50%，通常表示区间过窄、过度自信。
讲义列出四个问题及当时查得的参考数量：
过去 100 年航空死亡人数
讲义根据 1970—2020 年航空事故死亡约 83,772 人作粗略外推：
这是课堂估算，不是精确历史统计。
每年全球出生的女孩人数
用每年约 1.4 亿出生人口和男女性别比约
全球法语使用者
讲义引用的当时资料区分：
- 约 7600 万母语者；
- 约 2.35 亿日常流利使用者；
- 另有约 7700 万至 1.10 亿不同熟练程度的第二语言使用者。
答案取决于“法语使用者”的定义。
美国每年人工流产数
讲义引用 2017 年估计：
- Guttmacher Institute：约 862,300；
- CDC：约 619,591。
差异可能来自州级报告缺失、统计口径和数据收集方法不同。
这些题的重点不是记住数值，而是检验主观不确定性区间是否足够宽、定义是否明确。
14. 流星方向：无数据时的先验
2013 年 3 月 22 日，一颗流星划过美国东北部并接近纽约市上空。
令方向角
并令
在完全没有方向信息且旋转对称时，合理先验为圆周均匀分布：
任意长度为
方向是圆周变量，跨越
15. 用目击热图更新方向
原讲义依次展示：
- 各地目击报告数的粗热图；
- 更精细的热图；
- 由相关机构估算的实际飞行方向。
课堂任务是根据每幅图：
- 更新方向密度
、 ； - 画出新的 50% 概率区间；
- 比较新旧区间长度；
- 讨论热图对轨迹方向的识别能力。
更多空间信息通常使后验方向密度更集中，50% 区间变短。但简单热图可能具有严重偏差：
- 人口密集地区报告更多；
- 云层、昼夜和视野影响可见性；
- 媒体传播影响报告概率；
- 热图显示报告位置，不直接等于飞行轨迹；
- 地理底图面积与颜色尺度可能误导视觉判断。
因此热图只能通过明确的“轨迹如何产生目击报告”模型转化为可靠似然。原 PDF 中的精确方向仅以图片标示，文本层未记录角度数值，本译文不臆造该数值。
本讲要点
- 多参数贝叶斯模型用联合先验、联合似然和联合后验；
- 离散二维表中的区域求和对应连续模型中的区域积分；
- 历史数据可以形成信息先验，但必须避免不可比与重复使用；
- 概率区间直接陈述当前分布赋予参数区间的概率；
- 同一概率水平可有多个不同区间；
- 更高覆盖概率通常要求更宽区间；
- 主观概率区间可用于检查判断是否过度自信；
- 图形数据只有结合抽样与观测机制，才能可靠地形成似然。
