10-零一律与极大不等式

回顾 Borel—Cantelli 引理

• 第一 Borel—Cantelli 引理： 若

  则

• 第二 Borel—Cantelli 引理： 若 相互独立，且

  则

回顾强大数定律

定理（强大数定律）. 若

是一列期望为 的实值独立同分布随机变量，并且

是经验均值，则

几乎必然成立。

提纲

• 回顾
• Kolmogorov 零一律与三级数定理

Kolmogorov 零一律

• 考虑某个概率空间上的一列随机变量 。记

• 称为尾 -代数。它包含仅通过观察任意遥远未来的信息所能得到的事件。直观上说，改变有限多个 ，并不会改变一个尾事件是否发生。

• “ 收敛到某个极限”就是一个尾事件。还有哪些例子？

• 定理： 若

  相互独立，且 ，则

Kolmogorov 零一律的证明思路

• 定理： 若 相互独立，且 ，则

• 证明的主要思路： 这个命题等价于说 与自身独立，即

  怎样证明这一点？

• 回忆一条定理：如果 是相互独立的 -系统，那么 也相互独立。

• 推出

  与

  相互独立。然后利用

  和 都是 -系统这一事实，推出

  与 相互独立。