20-Poisson 过程

随机点过程

随机点过程是实数直线上的一个可列随机点集，它对应于某一事件依次发生的时刻序列。例如，顾客的到达时刻就构成一个随机点过程。

定义

上的随机点过程是随机变量序列

满足

以及

定义

相邻事件间隔序列定义为

计数过程定义如下：对任意

令

计数过程

对任意 ，定义

特别地，令

那么：

• ；
• ；
• 映射 是右连续的。

Poisson 过程

定义

若 上的点过程 满足下列条件，则称它是强度为 的 Poisson 过程。

• 对任意 以及任意

随机变量

相互独立。

• 对任意区间 ，随机变量 服从均值为 的 Poisson 分布，即

定理

强度为 的 Poisson 过程，其相邻事件间隔序列 独立同分布，并且服从参数为 的指数分布。

Poisson 过程——Markov 性质

定理（Markov 性质）

设 是 Poisson 过程。那么对任意 ：

• 过程

仍是 Poisson 过程；

• 它与

独立。

定理（强 Markov 性质）

设 是 Poisson 过程，并设 是停时。在条件 下：

• 过程

仍是 Poisson 过程；

• 它与

独立。

Poisson 过程——叠加

定理

设 是一族相互独立的 Poisson 过程，其强度分别为正数 。那么：

• 该族中任意两个不同的 Poisson 过程几乎必然没有公共点；
• 若

则

定义了一个强度为 的 Poisson 过程的计数过程。

定理

在上述定理的情形下，仍设

用 表示叠加过程

的第一个事件时刻，用 表示产生该事件的 Poisson 过程的编号。那么

Poisson 过程——刻画

定理

设 是取值于 的递增右连续过程，并且 。给定 ，下列陈述等价：

1. 是强度为 的 Poisson 过程。
2. 具有独立增量，并且当 时，关于 一致地有

3. 具有独立平稳增量，并且对所有 ，

2015 年春季