22-无穷小生成元

回顾

我们考虑可数状态空间上的连续时间马尔可夫链，并提出以下要求。

齐次性：

链的右连续性： 对任意 ，存在 ，使得对所有

都有

今天的目标

• 进一步讨论连续时间马尔可夫链的正则性；
• 无穷小生成元。

跳跃过程

考虑连续时间马尔可夫链 。

定义该链的跳跃时刻

如下：

定义该链的停留时间 ：

定义该链的跳跃过程 ：

这些量的时间关系为

由右连续性，

如果对某个 ，

则令

例. 设 是泊松过程，则：

• 跳跃过程为

• 停留时间 独立同分布，并服从指数分布。

爆炸时刻

定义爆炸时刻 为

本讲只考虑满足

的链。

总结

我们考虑可数状态空间上的连续时间马尔可夫链，并要求：

1. 齐次性：

2. 链的右连续性： 对任意 ，存在 ，使得

3. 非爆炸性：

连续时间马尔可夫链

总结

我们考虑可数状态空间上的连续时间马尔可夫链，并要求：

1. 齐次性：

2. 链的右连续性： 对任意 ，存在 ，使得

3. 非爆炸性：

4. 半群在零点右连续： 当 时，

并且对每个矩阵元素逐点收敛。

考虑转移半群 ，它满足

注. 结合半群性质与零点处的右连续性可知，半群在每个 处都右连续。

无穷小生成元

定理. 设 是一个右连续转移半群。

对任意状态 ，下列极限存在：

对任意两个不同的状态 ，下列极限也存在：

引理. 设

是一个非负函数，并且

假设 是次可加的，即对所有 ，

则极限

存在，并且等于

无穷小生成元

定义. 令

并对 令

矩阵

称为该半群的无穷小生成元。

生成元的元素满足

例

例 1. 设 是强度为 的泊松过程，则

其余生成元元素均为 。

例 2. 设 是转移矩阵为 的离散时间马尔可夫链。令 是一个与它独立、强度为 的泊松过程。定义

则 是一条连续时间马尔可夫链，其生成元为

无穷小生成元与跳跃过程

回顾： 是从

出发的连续时间马尔可夫链，并定义

定理. 对 ，

特别地，

此外， 与 相互独立。

注. 如果

则称 是吸收态。

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