在数学领域中，财务数学是一个崭新的研究领域。财务数学可以追溯到西元
1900 年 L. Bachelier 的博士论文 [2]。在他的博士论文中，他把 Brownian
motion 当作股票价格来探讨一些财务现象。
但严格来说，真正的财务数学起源于 1973 年。F. Black、M. S. Scholes
及 R. C. Merton 分别在两篇论文中发表了有关 European call option 的定价公式。其中用到了一些随机分析与偏微分方程的技巧，这引起了数学家的高度兴趣。
经过 Cox and Ross（1976）、Harrison and Pliska（1981、1983）的工作，把财务上重要的假设
“no arbitrage”和数学语言“equivalent martingale measures”结合在一起后，数学在财务理论中的应用显得更加重要，财务数学这个研究领域也逐渐成形。
发展至今，财务数学在欧美已经成长为一门庞大的学科，大多数毕业生都在银行界与实务界发展。这门课将讨论并介绍财务中较常遇到的概率数学工具。
要扎实学好财务数学，最好完整修完下列课程：
- Advanced calculus（高等微积分）；
- Real analysis（实变函数论）；
- Advanced probability／Probability based on measure theory（高等概率论／建立在测度论上的概率论）；
- Stochastic processes（随机过程）；
- Stochastic calculus／stochastic analysis（随机微积分／随机分析）；
- Financial mathematics in discrete-time（离散时间财务数学）；
- Financial mathematics in continuous-time（连续时间财务数学）。
此外，Partial differential equation（偏微分方程）、Numerical analysis
（数值分析）与 Numerical finance（数值财务）也在财务数学中扮演举足轻重的角色。
但上述每一门课通常都需要一整年学习。即使对想研究理论财务数学的学生来说，第
1、4、5、6、7 项也是必要的。对一般硕士生而言，要在两年内修完这些课程并完成硕士班学业，几乎是不可能的任务。
本课程较着重理论方面，但要在短时间内学好这些课程相当困难。一方面，台湾几乎没有一所学校能够开出所有课程；另一方面，要在两年内念完这些课程并完成硕士班学业也不太可能。一般的学习规划是：
- 先备知识（大学部课程）：Stochastic processes；
- 第一年：Probability Theory + Financial Mathematics in Discrete-time；
- 第二年：Stochastic Analysis + Financial Mathematics in Continuous-time。
我们没有这么多时间，所以必须把全部内容浓缩到一个学年的课程中。不过，建议对财务数学感兴趣的同学，如果有机会和足够时间，可以旁听或修习上述课程。
本课程大致安排如下。
第一部分先介绍概率论的一些基本概念，例如概率空间、期望值、条件期望值、martingale theory 等。
第二部分介绍 one-period model 与 multi-period model，并说明其中的一些名词及其用意。之所以先介绍 one-period model，是因为在 one-period model 中，整个财务定价过程比较自然，各项性质也比较直观。若直接定义 continuous-time 的对象，大多会失去一些直觉，这对第一次接触财务数学的人来说是很棘手的问题。
另外，从数学上说，由 multi-period model 推导 continuous-time model
是标准的逼近方法，而且有些性质只有在 multi-period model 中才显现出来。
第三部分讨论随机分析。这也是最困难的部分。数学困难是一回事，如何讲到让学习者理解则更加困难。本课程基本上不讲过于复杂的数学证明，而着重数学的应用与直觉培养。
最后一部分讨论 continuous-time model，并介绍一些常用的连续时间模型。
