Peter J. Kempthorne
Choongbum Lee
Vasily Strela
Jake Xia
18.01、18.02、18.03；
18.05 或 18.440；
18.06。
不要求预先学习金融学或经济学。
作业与评分
- 每次数学讲座后布置一份习题，两周后提交。
- 期末论文：选择一个数学金融主题撰写论文。
- 不设考试。
- 总评构成：作业占 75%，期末论文占 25%。
金融产品如何交易？
这一标题把纯数学中的圆周率
：相对于基准无法由系统性风险解释的超额收益； ：资产收益对市场或另一项资产收益变化的敏感度； ：衍生品价值对标的资产价格的一阶敏感度； ： 对标的资产价格的敏感度； ：衍生品价值对时间流逝的敏感度； - Vega：衍生品价值对隐含波动率的敏感度。
交易场所与地域
- 市场；
- 交易所；
- 场外交易（OTC）；
- 不同国家和地区的市场。
主要产品类别
- 货币和外汇；
- 股票、股票指数、首次公开发行（IPO）、一级市场和二级市场；
- 贷款、债券和信用产品；
- 大宗商品；
- 房地产、抵押贷款和资产支持证券（ABS）；
- 衍生品和结构化产品。
商业银行
- 吸收存款；
- 发放商业贷款。
投资银行
- 固定收益业务；
- 股票业务；
- 投资银行部与公司金融；
- 资产管理；
- 财富管理。
金融市场中存在两类基本需求：
- 投资者拥有资金，需要获得回报；
- 借款人需要资金，同时自身承担着各种风险。
因此，贷款人与借款人之间的交易仍然是金融市场最主要的驱动力。金融中介和金融产品帮助双方转移资金、重新分配风险，并协调期限、币种与现金流结构。
- 交易商、做市商和经纪商；
- 个人投资者与零售客户；
- 共同基金、保险公司、养老基金、资产管理机构和主权财富基金；
- 对冲基金和私募股权基金；
- 政府与政策制定者；
- 从事套期保值或负债管理的企业。
1. 套期保值者
套期保值者通过交易降低既有业务或资产负债表中的市场风险。
2. 做市商
做市商同时报出：
- 买入价（bid）；
- 卖出价（offer/ask）。
其收益通常来自买卖价差，同时必须管理持仓风险。
3. 自营交易者或基金投资组合经理
投资表现常分解为
其中：
表示随基准共同变化的系统性部分； 表示不能由基准收益解释的部分； 是残差。
债券发行人
债券发行人可能需要对冲：
- 利率风险；
- 未来应付现金流；
- 汇率风险。
例如，澳大利亚企业可能发行期限为 10 年、以日元计价的武士债券。假设澳元固定利率约为 4.5%，日元固定利率约为 1%，两者相差约 3.5%。企业通过发行日元债券获得日元融资，但经营上可能需要澳元，因此需要构造一项“收取日元、支付澳元”的对冲安排。这会涉及：
- 外汇交易；
- 利率互换；
- 交叉货币互换基差。
生产者和企业
- 生产者对冲未来销售收入；
- 企业对冲未来应收款的币种风险；
- 进口商和出口商对冲外汇风险；
- 并购等交易可使用“以交易完成为条件”的或有套期保值。
对于简单、透明、流动性较好的产品，做市商持续提供买卖报价。
做市商必须管理库存，也就是交易商账簿中的风险头寸。风险控制通常包括：
- 平衡
、 、 和 Vega 等希腊字母风险； - 管理尾部风险；
- 监控风险价值（VaR）；
- 控制资本和资产负债表占用；
- 评估风险加权资产。
常见交易方式包括：
- 方向性交易：做多或做空；
- 套利；
- 价值投资与相对价值交易；
- 系统化交易、动量交易和统计套利；
- 基本面交易与全球宏观交易；
- 特殊情形投资与困境资产投资。
1. 定价模型
- 相对价值；
- 无套利定价。
2. 风险管理
风险管理不仅涉及数学，还涉及人的：
- 风险厌恶；
- 贪婪；
- 恐惧。
3. 交易策略
人们常希望找到所谓的“圣杯”策略、金融永动机或完全自动化的机器人交易者，但任何策略都必须面对模型误差、市场变化、交易成本和风险约束。
在以下两种选择中，你会选择哪一个？
选择 A
- 80% 的概率损失 500 美元；
- 20% 的概率获得 500 美元。
其期望收益为：
选择 B
- 100% 的概率损失 280 美元。
其期望收益为：
虽然选择 B 的期望损失更小，但人在面对损失时的实际选择未必只由数学期望决定。
现在将盈亏概率对调：
选择 A
- 80% 的概率获得 500 美元；
- 20% 的概率损失 500 美元。
其期望收益为：
选择 B
- 100% 的概率获得 280 美元。
其期望收益为：
你会选择哪一个？这一对照实验涉及控制变量和边际效用。人的效用通常不是财富的线性函数，因此期望金额相近的选择可能产生不同的心理吸引力。
- 市场周期很长，而人的记忆很短；
- 人们倾向于把近期历史趋势外推到未来；
- 必须区分确定性判断与统计性判断；
- 有效市场理论与行为金融学提供了不同的解释框架；
- 过度简化可能掩盖关键风险。
制作一份自己的金融术语表：
- 记录你不理解的术语；
- 通过网络检索或阅读课程网站上的材料；
- 为每个术语写出清楚、可复用的解释。
项目内容：
- 使用蒙特卡洛方法定价；
- 使用中心差分计算
； - 研究问题：最优的价格扰动步长是多少？
若
需要最小化导数估计的均方误差：
讲义给出的最优步长形式为：
其中：
表示蒙特卡洛估计噪声的标准差尺度； 反映价格函数的局部曲率； 与 是项目中用于刻画计算精度或误差尺度的参数。
该页原 PDF 的公式字形发生重叠；上式按可辨识的分子、立方根及分母结构重排。
项目给出的参数为：
这里
- 五家经纪商在不同时间为美元/俄罗斯卢布（USD/RUB）远期合约报价掉期点；
- 项目目标是研究卡尔曼滤波能否提高报价的准确性。
卡尔曼滤波适合在含噪声、随时间变化的观测中递归估计不可直接观察的真实状态。
本页以图形展示卡尔曼滤波项目的数据或估计结果，用于比较不同经纪商的离散报价与滤波后的潜在市场水平。
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