04-5-圆盘法与圆柱壳法求体积

圆盘法与圆柱壳法求体积

圆盘法与圆柱壳法

本讲通过例题介绍两种计算旋转体体积的方法：圆盘法和圆柱壳法。

例 1. 女巫的大锅

方法 1：圆盘法

图 2 中圆盘的面积为 。
圆盘的厚度为 ，小体积为 。
大锅的体积 为

(代入 )

若 米，则 给出

关于单位的陷阱

若 厘米，则

但是 。为什么答案不同？矛盾来自方程不具尺度不变性。在顶部， 厘米。所以第二个锅只有 20 厘米宽，如图 3 所示。相比之下，

当 米时，锅口宽十倍： 即 。方程 两边的物理量纲并不相同，所描述的形状取决于所使用的单位。

方法 2：圆柱壳法

薄圆柱壳的高度为 ，周长为 ，厚度为 。

（与圆盘法结果相同）

---

例 2. 加热大锅里的水

令锅高 米。假设目标温度随高度线性变化：

于是：锅底 处为 ，锅顶 处为 。

使用圆盘法，因为水平圆盘上的温度相同。所需的总热量为

（单位：）

换算为卡路里：

若一块糖果约含 250 千卡，则相当于约

所以，将水加热大约需要 500 块糖果的能量。

例 3. 圆管中的泊肃叶流

泊肃叶是第一个研究流体在管道（动脉、毛细血管）中流动的人。
他发现流体在管道中流动的速度分布为：

半径 、厚度 的薄环带面积为 （见图 8：周长 ，厚度 ）。
该环带通过的体积流率为 。

通过管道的总流量：

总流量

注意，总流量与 成正比，因此管径稍微增加就能显著提高流量。

例 4. 飞镖盘

假设瞄准圆心，但落点并不完美。
落点在半径 处的命中次数 与 成正比。

命中密度随半径递减，圆心附近命中最可能。

半径在 的环带内命中次数与

成正比。下一讲将继续研究这一概率模型。