05-33-期末复习

第 38 讲：期末复习

1. 幂级数的微分与积分

若

则在收敛区间内部，

并且

这些公式让我们能够用级数计算没有初等原函数的积分。

2. 高斯函数的积分

例如，

逐项积分可得

虽然 没有初等函数形式的原函数，但其定积分仍可借助级数计算。

与此相比，有时初等函数给出的答案更直观。例如，

把 代入级数当然可以计算 ，但我们从几何意义立即知道

这也提醒我们：级数表示虽便于计算，却未必直接显露函数的几何意义。

3. 用级数得到 的公式

由

可得

先利用广义二项式展开：

令 ，所有项都变为正号：

逐项积分：

在 到 上取值，得到

讲义还提出一个较难的选做问题：为什么这个端点级数收敛？提示是使用洛必达法则分析通项下降的速度。

4. 加权平均

函数 在区间 上、以 为权函数的加权平均定义为

分母表示总权重；权函数 描述不同位置或不同结果受到多大重视。

5. 粒子衰变与期望收益

假设某粒子在 秒后衰变，参与者得到 美元。粒子到时刻 尚未衰变的权重为

收益函数为

已知

期望收益为

令

并利用

得到

若粒子的半衰期为 ，则

所以期望收益是

这里 以秒为单位。

6. 从粒子衰变到年金

现实中几乎没有人靠粒子衰变下注，但年金问题具有相同的数学结构。

购买年金后，退休者会定期得到固定付款，死亡后付款停止。若 代表持续领取付款的时间所对应的累计收益，而 近似表示活到 年后的权重，那么上面的加权平均便可用来估计年金的预期价值。

若年金与两个人的共同寿命有关，就需要同时处理多个随机变量和多个积分，这将进入多变量微积分的内容。

7. 课程回顾与后续方向

本课程最初的目标之一，是学会对各种单变量函数求导。在多变量微积分中，链式法则将以矩阵形式得到统一推广，并把单变量中的链式法则、乘积法则、商法则和隐式微分纳入同一个框架。

借用讲义中仿《指环王》的玩笑：

一条法则统御它们，
一条法则找到它们，
一条法则把它们带来，
并在矩阵中把它们结合。

8. 本讲小结

1. 幂级数可以逐项微分与积分。
2. 级数能够计算没有初等原函数的积分。
3. 广义二项式展开可导出 的无穷级数公式。
4. 加权平均统一描述概率权重下的期望值。
5. 衰变模型与年金估值共享相同的积分结构。