05-34-习题集1

习题集 1

说明

提交时间：2006 年 9 月 15 日（星期五）下午 1:55。

第一部分由补充讲义中的练习组成，解答可在讲义的解答部分找到；评分主要检查是否全部完成以及是否独立作答。第二部分没有提供解答，分值更高，其中包含不适合考试或简答题形式的多步骤问题。

为帮助学生跟上课程进度，每道题都标明完成它所需的课程背景。

第一部分（30 分）

记号示例：

• 2.1：Simmons 教材第 2.1 节；
• Notes G：补充讲义 G 节；
• 1A-3：补充讲义练习部分 1A-3；
• 2.4/13：教材第 2.4 节第 13 题；
• 81/4：教材第 81 页第 4 题。

习题课 0：函数作图

阅读：补充讲义 G 的第 1–4 节。
练习：1A-1a、2a、3abe、6a、7a。

第 1 讲：导数、斜率、速度与变化率

阅读：2.1–2.4。
练习：1C-3abe、4ab（使用第 3 题）、5、6；1B-2、1C-1a。最后一题应从导数定义出发。

第 2 讲：极限、连续性与三角极限

阅读：2.5 第 70–73 页下半部分，重点看例题，可略过 - 定义；阅读 2.6 至第 75 页，掌握定义 (1) 以及“可导蕴含连续”的证明；阅读补充讲义 C。
练习：1D-1bcefg、4a；1C-2、1D-3ade、6a、8a。

第 3 讲：乘积、商及三角函数的导数

原函数 满足 。
阅读：3.1、3.2、3.4。
练习：1E-1ac、2b、3、4a、5a；1J-1e、2。

第 4 讲：链式法则与高阶导数

阅读：3.3、3.6。
练习：1F-1ab、2、6、7bd；1J-1abm；1G-1b、5ab。

第 5 讲：隐式微分与反函数

阅读：3.5、补充讲义 G 第 5 节。练习列在习题集 2 中。

第二部分（40 分）

合作规则

允许并鼓励就习题进行合作，但必须遵守：

1. 先独立尝试每一小题；若不理解题意，可以先请别人解释，再诚实尝试。
2. 每道题必须独立撰写，答案应使用自己的语言。
3. 在作业上注明咨询过的人和使用过的资料，否则可能被视为抄袭。
4. 不得查阅往年学期的材料。

第 0 题（3 分）

列出所有咨询、合作过的人以及使用的资料；若没有，写“无”。不知道姓名时，也应以“2-106 室的辅导员”等方式说明身份。还可选填哪些人或资料特别有帮助。

第 1 题（3 分）

把

表示为一个偶函数与一个奇函数之和，并尽量化简。

第 2 题：测量灵敏度（6 分）

若 ，定义

比值 衡量 的变化对 的影响。

Quirk 星球是平的。GPS 卫星悬停在其表面上方 处。已知卫星到地面某点的斜距 ，估计该点到卫星正下方位置的水平距离 。

1. 对 ，分别取

用计算器计算 ，并写出

选择能覆盖三种情形的最简单整数 。

2. 对 重复上述计算。与第 1 问相比， 的估计更准确还是更不准确？

第 3 题：视线与抛物线（4 分）

Quirk 星球上一座 英尺高的手机塔位于一座 英尺高的绿色山丘顶部。山丘轮廓为

一只蚂蚁从地面 开始沿山丘向上爬。它在什么高度 开始看见塔？

第 4 题（6 分）

教材 3.1/21：抛物面镜。

第 5 题：漏水（4 分）

饮水机在 分钟时的水量为

1. 求最初 5 分钟内水流出的平均速率；
2. 求开始漏水 5 分钟后水流出的瞬时速率。

第 6 题（8 分）

完成教材 2.5/19d（令 ）、19f、19g、20c、20g（写出过程）、22a（需要计算器）与 22b（参见第 73 页证明）。

第 7 题：多个函数的乘积（6 分）

1. 若 均可导，求 ；
2. 猜测 个可导函数乘积

的公式，并用数学归纳法证明：假设结论对 个函数成立，再证明它对 个函数成立。