05-35-第三次考试复习

第三次考试复习

一、积分部分的复习范围

1. 计算定积分：换元法、微积分第一基本定理，以及题目给出的提示。
2. 微积分第二基本定理：

若

应能根据 的图像判断 的图像、估计 的值，并进行变量替换。

3. 黎曼和、梯形法则和辛普森法则。
4. 面积与体积。
5. 其他累积量：平均值、概率、功等。

二、体积

体积题主要有两类：

1. 旋转体；
2. 其他可用切片处理的立体。

解题时应先画出能够说明截面结构的二维图。

对于绕 轴或 轴形成的旋转体，关键是选择圆柱壳还是圆盘（或垫圈），也就是决定对 还是对 积分。选择以后，其余步骤便可系统确定。

例如，区域绕 轴旋转：

• 圆柱壳：高为 ，周长为 ，厚度为 ；
• 垫圈：面积为 ，厚度为 。

三、功

恒力所做的功为

若力随位置变化，就必须使用积分。

例：单摆

设摆长为 ，摆锤质量为 ，摆线与竖直方向夹角为 。重力大小为 ，沿摆锤运动轨迹切向的分力大小为

图示：摆锤位于与竖直方向成 的位置；重力竖直向下，其沿圆弧切线方向的分量为 。

重力把摆锤从 拉到最低点所做的功为

摆锤下降的竖直高度恰好是

所以

这与物体沿直线下降相同高度时重力所做的功完全相同。重力做功只取决于起点和终点的高度差，与路径无关，因此不能利用单摆制造永动机。