05-36-第四次考试复习

第四次考试复习

一、考试范围

1. 三角换元与三角积分；
2. 部分分式；
3. 分部积分；
4. 弧长与旋转曲面的面积；
5. 极坐标；
6. 极坐标下的面积。

二、学生提问

参数方程需要掌握什么？

牢记弧长微元公式：

例如，

则

在给定参数区间上对 积分即可得到弧长。

怎样快速做部分分式分解？

首先比较分子与分母的次数。若分子次数大于或等于分母次数，应先做多项式长除法；若分子次数较低，再进行部分分式分解。

例如，

用遮盖法：

再令 ：

所以

因此

三、三角换元

计算含根式的积分时，常用下列换元：

积分完成后，用直角三角形把三角函数表达式换回原变量。

四、有理函数与部分分式

对于有理函数 ，若

先把 完全分解为一次与不可约二次因子，再把原式分解为较简单的项。

例如，

其中 可用 处理。实际操作中，最困难的步骤往往是分解分母。此外还要掌握配方和长除法。

五、分部积分

当 比 更容易积分时使用这一公式，尤其是求导能使 简化的情形。

六、弧长

统一形式为

根据积分变量可写为

七、旋转曲面的面积

绕 轴旋转：

绕 轴旋转：

八、极坐标

反向关系为

但确定 时必须结合象限。

应会：

• 在直角坐标与极坐标之间转换曲线方程；
• 根据极坐标方程画图并确定正确的 范围；
• 用极坐标面积公式

选择角度区间时要避免重复计算或遗漏区域。

九、考试提供的三角与导数公式

十、有理函数积分的系统方法

对一般有理函数 ，第一步是长除法：

例如，

而

一般地，若 、，则商 的次数为 ，余式次数至多为 。

对于重复一次因子，

应包含

以及 对应的全部各次项。

对于重复不可约二次因子

应包含

二次项先配方：

随后可归结为

前者用 ，后者用 。