06-5-全微分梯度方向导数与Lagrange乘子

Week 5：全微分、梯度、方向导数与 Lagrange 乘子

本周包含 2007 年 10 月 2、4、5 日的第 11–13 讲。

第 11 讲：全微分与链式法则

一元函数的微分

对一元函数

微分关系为：

例如：

对两边微分：

所以：

多变量函数的全微分

若

则全微分为：

是描述无穷小变化之间线性关系的新对象。它与有限增量 不完全相同，但可用于两种主要目的。

第一，作为线性近似：

第二，若

则两边除以 ，得到链式法则：

示例

设：

全微分为：

若

则：

这与先代入

再进行一元求导的结果相同。

链式法则的两种理解

从微分出发：

代入 ：

另一种更严格的理解，是从线性近似

出发，两边除以 ，再令 。

乘积法则与商法则

令

把 看成二元函数：

同理，对

有：

多层变量关系

设：

则：

代入并合并 的系数：

所以：

偏导符号不是普通分数，不能把 当作代数因子随意约掉。

极坐标中的链式法则

因此：

同理：

第 12 讲：梯度与方向导数

梯度

对

定义梯度向量：

若运动轨迹为

则链式法则可写成向量形式：

梯度垂直于等值面

定理：

垂直于等值面 。

例 1：

等值面

是平面，梯度

正是法向量。

例 2：

等值线

是圆，而

沿径向向外，垂直于圆。

证明：取完全位于等值面 内的曲线

其速度向量

位于等值面的切平面中。因为沿曲线 保持常数：

由链式法则：

这对切平面中的每个切向量 都成立，所以 是等值面的法向量。

隐式曲面的切平面

求曲面

在点

处的切平面。

令

梯度为：

在给定点：

因此切平面为：

化简得：

这也可由微分得到：

在该点：

等值面上 ，线性近似即给出同一个切平面。

方向导数

方向导数描述沿任意指定方向移动时 的变化率。

取单位向量：

从 出发，沿该方向按单位速率移动：

因为速率为 1，参数 就是弧长。

沿 的方向导数为：

若 是 与 的夹角，则：

所以：

• 当 与 同向时，方向导数最大；

• 最大方向导数为

• 梯度方向是函数增长最快的方向；

• 当 时，方向导数为零，此方向沿等值线或等值面的切向。

第 13 讲：Lagrange 乘子

约束极值问题

目标是在约束

下求 的最大值或最小值。

例：求双曲线

上距离原点最近的点。

距离平方为：

约束为：

在约束极值点， 的等值线与约束曲线相切，因此它们的法向量平行：

再加上约束方程，得到：

本例中：

所以：

前两个方程写成：

由于 ，不能有 ，所以系数矩阵必须奇异：

因此：

与 不相容； 给出：

两点到原点的距离相同，都是约束曲线两个分支上的最近点。

方法为什么成立

在约束面 上的极值点，沿任何约束切向量 移动时：

因此 垂直于约束面的整个切平面。 也是约束面的法向量，所以：

注意，Lagrange 乘子法只给出候选点，并不自动判断它是最大值还是最小值。必须比较函数值或使用几何与全局分析；无约束二阶导数判别法不能直接套用到约束变量上。

最小表面积金字塔

给定一个三角形底面和固定体积 ，希望选择顶点，使三棱锥侧面积最小。

因为：

底面积与体积固定时，高度 也固定。顶点在平行于底面的平面 上移动。

直接用顶点的平面坐标 计算三个侧面面积很复杂。更适合的变量是：

• ：底面三角形三边长度；
• ：顶点在底面上的投影点到三条边的距离。

第 个侧面的斜高为：

因此侧面积为：

投影点把底面分成三个小三角形，所以约束为：

应用 Lagrange 乘子：

逐分量得到：

函数

对 严格递增，因此：

顶点的投影点到三条边距离相等，所以它是底面三角形的内心。最省侧面积的顶点位于内心正上方。