06-6-非独立变量与约束偏导数

Week 6：非独立变量与约束偏导数

本周包含 2007 年 10 月 11 日第 14 讲和 10 月 12 日第 15 讲复习。

第 14 讲：非独立变量

很多实际变量并不独立。例如理想气体状态量满足：

若三个变量由约束

联系起来，在适当条件下可把 局部看成 的函数：

由全微分求隐函数偏导数

考虑：

在点

附近。

对约束全微分：

代入给定点：

解出：

所以：

下标表示求导时保持哪个变量不变。

一般地：

保持 不变，即令 ：

因此：

类似地：

偏导数符号中的“保持不变”

偏导数必须说明其余哪些独立变量保持不变。

例如：

在 坐标中：

现在换变量：

则：

所以：

虽然 ，却有：

原因是：

• 对 求偏导时保持 不变；
• 对 求偏导时保持 不变，而 。

因此两个操作沿变量空间中的不同方向移动。

直角三角形面积的约束变化率

三角形两边长度为 ，夹角为 ，面积：

若它是直角三角形，并且 是斜边，则有约束：

“面积对 的变化率”至少有三种不同含义：

1. 把 看成独立变量，保持 不变：

2. 保持 不变，同时让 随 调整以维持直角约束：

3. 保持 不变，让 随 改变：

这三个导数一般不同。

方法 1：直接代入

保持 不变。由

得：

因此：

方法 2：全微分

约束微分为：

保持 不变，即 ，所以：

代回 ：

方法 3：链式法则

保持 不变，把 ：

由约束

隐式求导：

因此：

代入后得到与全微分法相同的结果。两种系统方法本质上计算的是同一组变化关系，只是书写方式不同。

一般约束下的偏导公式

设：

要求：

保持 不变，即 。

约束微分：

所以：

而：

因此：

同样可由链式法则得到：

第 15 讲：第二次考试复习

复习主题包括：

1. 多变量函数与等高线图；
2. 偏导数与梯度；
3. 线性近似、切平面与方向导数；
4. 极值问题：临界点、二阶导数判别以及边界检查；
5. 全微分、链式法则与变量替换；
6. 非独立变量：Lagrange 乘子和约束偏导数。

最小二乘不在本次考试范围内。

偏微分方程

偏微分方程是含未知函数偏导数的方程，在物理中极其重要。例如三维热方程：

它描述温度场 随时间的演化。括号中的空间二阶导数之和称为 Laplacian：