07-2-数值方法

第 2 讲：数值方法

1. 三种研究方法

微分方程的研究包括：

1. 解析、精确和符号方法；
2. 定性方法，如方向场与等斜线；
3. 数值方法。

即使方程能符号求解，仍需计算具体数值。例如， 是初值问题

的解在 处的值。要得到

最终仍需要数值计算。

本讲以

为例估计 。该解进入上一讲的漏斗，故当 很大时接近 ；数值解给出 。

2. 欧拉法

在点 处，令

切线近似为

本例在 处

若直接取 ，会得到

误差很大。改进办法是使用较小步长，并在每一步重新读取方向场斜率。

对初值问题

令

欧拉递推公式为

这里 是 的近似值，而不是精确值。连接各近似点的折线称为欧拉多边形。

步长

对于 ：

0	0
1
2			—	—

不同步长的结果为：

步长	的估计
数值“真值”

3. 误差来源

舍入误差累积

每一步计算都有小的舍入误差，步数越多，累积误差越多。因此，减少步数有利于控制舍入误差；但减小步长又能使折线更贴近真实解，两者之间存在权衡。

截断误差

欧拉折线不是真实解。方向场变化越快，折线顶点处采用的斜率与真实解上的斜率偏离得越快，误差可能迅速增大。

可用二阶导数判断局部偏差方向。由

得到

在 处，

真实解向下凹，因此切线位于曲线上方，欧拉估计偏大。一般而言，在单步局部范围内：

• ：欧拉估计偏高；
• ：欧拉估计偏低。

4. 方法的阶

对于足够小的 ，欧拉法全局误差至多为

所以称为一阶方法。这里的“一阶”与“一阶微分方程”无关。

5. 改进欧拉法（RK2／Heun 法）

先用起点斜率走出一条欧拉预测步，再在预测终点读取斜率，最后使用两个斜率的平均值：

本例从 出发、取 ：

欧拉预测点为

该点斜率为

平均斜率为

RK2 的误差阶为

6. 四阶龙格—库塔法

RK4 每一步读取方向场四次，再综合决定前进方向。其误差约为

每次斜率计算都有成本，因此比较效率时应固定斜率计算总次数。对

估计 ，若都使用 1000 次斜率计算：

方法	步长	误差
欧拉法（RK1）
Heun 法（RK2）
RK4

对应误差常数约为

在需要较高精度时，RK4 通常是计算成本和精度之间很好的折中。

7. 与数值积分的联系

对于

精确解为

此时：

• 欧拉法对应左端点黎曼和；
• RK2 对应梯形法则；
• RK4 与辛普森法则相联系。

8. 灾难性越界

若步长过大，欧拉折线可能跨越方向场中的漏斗边界，产生“灾难性越界”，随后误差迅速爆炸。实际微分方程求解器会采用更谨慎的策略，例如在方向场陡峭或变化快的区域自动减小步长。