07-3-一阶线性方程与系统信号

第 3 讲：一阶线性方程与系统—信号观点

1. 一阶线性微分方程

线性方程是微分方程中最重要的类别之一。以时间 为自变量、 为未知量时，一阶线性方程可写成标准形式

若 都是常数，则方程可分离：

例如，允许固定捕猎量的羚羊种群模型为

其中 是增长率， 是捕获率。在真实模型中， 和 也可以随时间变化。

2. 银行账户模型

设账户余额为 ，年利率为 。在长度为 的计息周期内，

把取款看作负存款。令 表示截至时刻 的累计净存款，则

是瞬时净存款率，单位为“美元/年”。重要的是 的斜率，而不是 本身的正负：

• ：正在净存款；
• ：正在净取款。

若 连续，则

减去 ，除以 ，再令 ，得到

标准形式为

利率和净存款率都可以随时间变化。若利率还依赖余额 ，方程通常就不再是线性的。

原讲义示意图把每月存入 100 美元连续化为每年 1200 美元的恒定存款率；相应累计存款 是斜率为 1200 的直线。

3. 系统与信号

在

中：

• 左侧的微分算子代表系统；
• 右侧 是外界施加的输入信号；
• 系统产生的 是输出信号或系统响应；
• 初始条件也会影响响应。

对银行账户：

同时还需给定初始余额 。

识别线性方程

判断下列方程：

(a) 含 ，不是线性的。(b) 可写成

是线性的；(c) 也是线性的。

4. RC 电路

考虑由电压源、电阻和电容串联组成的 RC 电路。设：

• ：顺时针为正的电流；
• ：电源产生的电压升高；
• ：电阻两端的电压降；
• ：电容两端的电压降；
• ：电阻；
• ：电容。

基尔霍夫电压定律给出

元件关系为

电阻上的电压降与电流成正比；电容上的电压降则与电流的累积有关，因为电荷会在电容极板上积聚。

对基尔霍夫定律求导：

因此电流满足一阶线性方程

系统—信号观点为

并需给定初始电流 。严格说来，方程右侧出现的是输入信号的导数 。

5. 本讲小结

1. 一阶线性方程的标准形式是 。
2. 银行余额由利息与净存款率共同驱动。
3. 线性方程可看成把输入信号转化为输出响应的系统。
4. RC 串联电路的电流满足一阶线性微分方程。