07-4-积分因子

第 4 讲：一阶线性方程与积分因子

1. 齐次一阶线性方程

一阶线性方程的标准形式是

其中 与 是系数。除以 后得到约化标准形式

若输入为零，即 ，方程称为齐次：

它表示系统在没有外界输入时自行演化。银行模型中，这意味着没有存取款；RC 电路中，这意味着电源不提供电压。

齐次方程可分离：

积分并指数化：

例如，

的通解为

任取一个非零齐次解

所有齐次解就是 。

2. 牛顿冷却定律

令 为保温箱内饮料的温度， 为外界温度。最简单的线性热扩散模型为

当外界更热时，；当内部更热时，。标准形式是

原讲义一处写成了 ，但后续例题和物理模型均使用正确的加号形式，这里已校正。

从系统—信号观点看：

• 系统：保温箱；
• 输入：外界温度 ；
• 输出：内部温度 ；
• ：内外温度的耦合常数。

越小，隔热越好； 表示完全隔热。建筑行业窗户的传热系数与此类似。

设

其中 是上午 10 点后的小时数。初值问题为

3. 积分因子的思想

积分因子法以乘积求导公式为基础：

先看

两边乘以 ：

左侧成为乘积导数：

积分得到

这里的 就是针对原标准形式选取的积分因子；若先约化为

其积分因子则是 。

4. 一般积分因子

对于

两边乘以 ：

要使左侧等于 ，必须有

因此可取

任何非零常数倍也都是积分因子。乘方程后，

所以

不定积分中的常数给出通解的任意常数。

5. 完成冷却问题

对

积分因子为

于是

积分：

用分部积分，

所以

代入 ：

最终

6. 特解、齐次解与暂态

一阶线性方程的通解具有结构

其中：

• 是非齐次方程的任一特解；
• 是非零齐次解；
• 积分因子满足 。

本例中，

由于

称为暂态项。所有解最终都会越来越接近特解 ，初始条件的影响逐渐消失。这又形成了一个解曲线漏斗，体现系统的稳定性。

外界温度为 ，而长期内部温度约为 ，始终滞后 。若初始内部温度高于外界温度，它会先下降，在与外界温度相等的零斜率线上短暂停留，然后转而上升，最后趋近上述长期响应。