07-5-复数与单位根

第 5 讲：复数与单位根

1. 复数代数

复数能够表示同时具有振幅与相位的量。实数构成一条直线，复数则铺满一个平面。虚数单位 满足

每个复数均可写成

其实部与虚部分别为

注意，虚部 本身是实数。复数之间没有与实数相容的大小次序。

普通代数规则仍适用，例如

乘以 的几何效果是逆时针旋转 ：

2. 复共轭

的复共轭为

几何上是关于实轴的反射。它满足

并且

因此可用共轭进行复数除法。例如，

若

则 的实部为零，所以 是纯虚数。

3. 极坐标表示

复数 到原点的距离称为模：

它与正实轴的夹角称为辐角：

辐角只在相差 的整数倍意义下确定。还可写成

但求辐角时必须结合象限。

4. 复数乘法的几何意义

复数相乘时：

第一式可由

得到。

若 、，则

因此复数乘法本身就包含了正弦、余弦的和角公式。

5. 幂与螺旋

对 ，有

于是：

幂	模	辐角	直角坐标形式

这些幂在复平面上沿螺旋向外移动。因此

即 是 的一个四次方根。