07-6-复指数

第 6 讲：复指数

1. 复数的根

由复数乘法规律，

三次单位根

若

则 ，而辐角可取

三个根为

一般而言， 次单位根把单位圆均分为 份。

的三次根

若 ，则

辐角可取

因此三个根是

它们均匀分布在半径为 的圆上。

2. 代数基本定理

次数为 的多项式

至少有一个复根。事实上，它可在复数域中完全分解：

计入重数后，它恰有 个复根。

3. 复值曲线与导数

复值函数

在复平面中参数化一条有方向的曲线。导数逐分量计算：

它就是曲线的速度向量。

例如，

表示通过 、向右运动的水平直线，其速度为 。

4. 欧拉公式

考虑初值问题

把它的解记作 。由于乘以 等于把向量逆时针旋转 ，速度向量始终与位置向量垂直；因此轨迹是逆时针匀速运动的单位圆：

直接检验：

二者相同，所以

这就是欧拉公式。

5. 一般复指数

对于 ，

它的模和辐角分别为

因此：

• ：轨迹向外扩张；
• ：轨迹向内收缩；
• ：逆时针旋转；
• ：顺时针旋转。

例如，

沿逆时针方向向外螺旋。

复指数仍满足

6. 用指数表示正弦与余弦

任意复数满足

因为

欧拉公式给出

正弦和余弦的恒等式都可以从复指数的性质推出。

特别地，

数

正是全部 次单位根。