07-7-指数与正弦输入输出

第 7 讲：指数与正弦输入—输出

欧拉公式给出

1. 正弦型函数

正弦型函数的图像是正弦波或余弦波。它由三个参数完全确定：

• 振幅 ：最大值的高度；
• 周期 ：重复一次所需的时间；
• 时间滞后 ：第一次达到最大值的时刻。

相角与时间的关系为

因此

普通频率与圆频率分别为

定义相位滞后

则标准形式为

例如，

即正弦相对于余弦滞后四分之一个周期。

若 、、，则

2. 正弦与余弦之和

利用

可把

写成单个正弦型函数。令

则

其中 应由向量 的象限正确确定。

例如，

3. 用复数计算积分

复值函数的微分与积分均可分别对实部和虚部进行。因为

所以

又

取实部得到

4. 指数输入的一阶线性方程

考虑

由于指数函数求导后仍为指数函数，猜测特解

代入：

故

特解为

齐次解为 ，所以通解是

5. 用复指数替换正弦输入

考虑实方程

把它看成复方程

的实部。猜测

代入后

所以

展开：

取实部：

这是该方程唯一的纯正弦型响应。加上齐次暂态，通解为

复数替换把正弦输入转化为易于求导和代数运算的指数输入，最后再取实部返回原问题。