07-8-自治方程

第 8 讲：自治方程

1. 定义与逻辑斯蒂方程

一般一阶方程为

若右侧不显含时间，

则称为自治方程。这表示环境规律不随时间改变，但变化率仍可依赖系统当前状态。

自然增长模型

就是自治方程。银行余额模型

在利率仅依赖余额、净存款率为常数时也是自治的。

考虑受资源限制的种群。若小种群时人均增长率约为 ，最大可持续种群为 ，最简单的线性人均增长率是

因此

这就是逻辑斯蒂方程。它是非线性的，但仍是自治方程。

零斜率线为

令

则：

• 时，；
• 时，；
• 时，。

原讲义在第三种情形误写为“斜率为正”，但随后关于种群回落到 的说明及公式均表明应为负。

有界非平衡解呈 S 形：从略高于零的种群逐渐趋近 。平衡点 是稳定的，而 是不稳定的。

2. 相线

自治方程的方向场沿水平方向不变，因此可压缩成一条竖直的相线：

1. 标出所有满足 的平衡点；
2. 在 的区间画向上箭头；
3. 在 的区间画向下箭头。

相线能直接显示系统随时间向哪个平衡点移动。

若平衡点为 ，通常：

例如 的最右平衡点是不稳定的。

3. 捕猎与可持续种群

设没有捕猎时种群（单位：千只）满足

其中 是稳定种群，与保护区面积成正比。若每年捕猎 千只，则

平衡点由二次公式给出：

当 时没有平衡点，种群最终崩溃；当 时只有一个半稳定平衡点

然而，只要种群略低于 ，它仍会崩溃，因此把保护区仅建到 并不稳妥。

当 时出现两个平衡点。两点相距越远，稳定种群抵御扰动的余量越大。把不同参数 的相线汇总起来，就得到分岔图。

4. 时间平移

自治方程的规律不随时间变化，因此若 是解，则

也是解；它表示原解向右平移 。

例如

的非零正解都可写成

负解可写成

零解的任何时间平移仍是零解。

5. 极值与拐点

自治方程的非恒定解不能有严格局部极大或极小。因为极值处需有

这对应一个平衡解；由唯一性，非恒定解不能到达并穿过该平衡点。

对非恒定解，由链式法则

在非平衡位置 ，拐点候选由

给出，并需确认凹凸性确实改变。