07-11-二阶线性方程

第 11 讲：二阶线性方程

1. 弹簧—质量系统

二阶方程是机械系统和电气系统分析的基础。

设质量为 的小车与墙之间连接一根弹簧，并令 表示弹簧自然长度的位置。牛顿第二定律为

弹簧力总是把物体拉回平衡位置：

在小位移范围内，用切线近似得到胡克定律

其中 是弹簧常数。因此

图示：小车在水平轨道上，左端连接墙上的弹簧，外力沿 正方向作用。橡皮筋只在一定伸长范围内近似线性，伸长过大时会偏离胡克定律，最终断裂。

2. 阻尼器

真实机械系统都有摩擦。若摩擦仅依赖速度，并总与运动方向相反，则：

小速度下可采用线性阻尼模型

其中 是阻尼常数。阻尼器常由装有油和活塞的圆筒构成，门缓冲器与汽车减震器都可采用这一原理。

弹簧、质量与阻尼器合在一起，得到

图示：小车左侧连接弹簧，右侧连接阻尼器，同时受到外力 。

3. 一般线性微分方程

阶线性方程具有形式

其中系数 可以依赖 ，但不能依赖未知函数 。若 ，方程阶数为 。

在系统—信号语言中：

• 左侧表示系统；
• 右侧 表示输入；
• 系数表示质量、阻尼、刚度等系统参数；
• 解 是输出响应。

许多课程模型假设系数为常数，因为系统参数的变化时间尺度远长于运动本身；外力仍可随时间变化。

二阶方程的一个初始位置不足以确定解，还必须给出初始速度：

一般 阶方程需要 个初始数据：

4. 简谐振子

无外力时，

是齐次方程。

若没有阻尼，即 ，则

令

得到

因为

通解为

初始数据满足

因而能唯一确定 。

所有非零解的周期为

例如，

有 ，周期为 。

5. 齐次叠加原理

若 都是齐次线性方程的解，则任意常数 下

仍是解。

对

这是因为线性算子满足

6. 特征多项式

对常系数齐次方程

尝试指数解

代入得到

由于指数函数不为零，非零解存在的条件是

称为特征多项式。

例

特征方程为

根是

因此通解为

若

则

解得

所以

一般而言，常系数 阶齐次线性方程

的特征多项式为

当 是特征根时， 是解；不同特征根对应的指数解可通过叠加构成通解。