07-12-阻尼振动

第 12 讲：阻尼振动

研究无外力弹簧—质量—阻尼系统

其特征多项式为

特征根对应系统的模态。

1. 三种阻尼情形

在 下：

类型	参数条件	特征根	基本实解
过阻尼		两个不同实根
临界阻尼		重根
欠阻尼	$b^2/(4m)

其中

称为阻尼圆频率。

2. 过阻尼

例如，

特征多项式

有根 ，故

两个模态都只做指数衰减，没有振荡。

3. 欠阻尼与实解定理

考虑

所以根为

复指数解为 。

**实解定理：**若 是实系数齐次线性方程的复值解，则其实部 与虚部 也都是实值解。

这是因为

迫使实部和虚部分别为零。

由

得到基本实解

通解为

它是振幅指数衰减的正弦振动。

一般若特征根为

基本实解就是

4. 自然频率与阻尼频率

二次公式给出

欠阻尼时，

定义自然圆频率

无阻尼时 ，有

解为简谐振动

固定 并增大 时， 减小，所以周期

增长；接近临界阻尼时，周期趋于无穷。

5. 临界阻尼

例如，

原讲义漏写了最后的 ，但特征多项式和后文均明确为上述方程。

特征多项式为

重根 。除 外，第二个独立解是

原讲义一处误写为 ，代回方程可知应为 。

因此

临界阻尼是仍不振荡的最快回稳状态。

6. 暂态与根图

若 均为正，则所有齐次解在 时衰减到零：

• 欠阻尼：包络 ；
• 过阻尼：两个实根均为负；
• 临界阻尼：即使含 ，。

在复平面中，欠阻尼根为

• 根越向左，解衰减越快；
• 根落在虚轴上时没有阻尼；
• 根进入右半平面时，振幅指数增长；
• 根越靠近实轴，振荡频率越低；
• 两根在负实轴上合并时出现临界阻尼，继续分开则进入过阻尼。