07-13-受迫线性方程

第 13 讲：受迫线性方程

考虑受外力作用的弹簧—质量—阻尼系统：

相应齐次方程是

自然圆频率为

欠阻尼时，阻尼圆频率满足

1. 叠加原理 II

若 是非齐次方程的一个特解， 是相应齐次方程的解，则

仍是非齐次方程的解。

若 表示齐次通解，那么

就是非齐次通解。

因此求解分成两步：

1. 找非齐次方程的任一特解；
2. 加上相应齐次方程的通解。

2. 无阻尼系统的正弦驱动

设手的位置 通过弹簧驱动质量块的位置 。当 时弹簧自然；弹簧力为 ，所以

若输入为

除以 ：

尝试同频特解

代入：

当 时，

3. 增益、共振与反相

输出振幅与输入振幅之比称为增益：

• 时，，质量块缓慢跟随输入；
• 时，增益趋于无穷，发生共振；
• 时，增益逐渐趋零；
• 时，，输入输出同相；
• 时，，输入输出反相。

理想线性模型在共振频率上不存在纯同频有界特解。真实弹簧振幅变大后会表现出非线性，从而限制响应。

4. 二阶指数响应公式

考虑

令

为特征多项式，猜测

代入得到

只要 ，

这就是二阶情形的指数响应公式，也是任意阶常系数线性方程的通用规律。

若 ，输入指数恰好是齐次模态，系统处于共振，不能使用 形式。

例如，

所以

5. 复数替换求正弦响应

求

的特解。改用复方程

其特征多项式

指数响应公式给出

由于

取实部：

写成振幅—相位形式：

阻尼项使 产生非零虚部，从而造成输出相位滞后；它还增大分母的模，因此降低稳态正弦响应的振幅。