07-14-复增益

第 14 讲：复增益

1. 稳定系统与稳态响应

考虑常系数线性方程

及其齐次方程。特征多项式为

特征根决定齐次解中的指数模态；重根还会产生乘以 的幂的解。

因为

若所有特征根的实部均为负，则所有齐次解都趋于零。这称为暂态定理。

此时非齐次方程的任意两解之差是趋零的齐次解，因此所有响应在长期会趋近同一个特解。系统称为稳定，长期只需研究稳态响应，初始条件的影响已经消失。

若输入为

稳定常系数线性系统的稳态输出仍为同频正弦：

线性性说明 与 成正比，故可写为

这里 是增益， 是相位滞后。

2. 相位滞后的极坐标求法

考虑

复数替换：

由于

指数响应公式给出

取实部：

所以增益为

相位滞后为

即滞后八分之一个周期。

若保持质量与弹簧常数不变并增大阻尼 ，则 的虚部增大：

• 增大，所以相位滞后增大；
• 增大，所以响应振幅 减小。

3. 通过阻尼器驱动

设质量块位置为 ，阻尼器另一端的输入位置为 。阻尼器作用力为

因此系统方程为

这里输入信号是 ，但方程右侧出现的是其导数 。

若

用复输入

替换，得到

设

则

4. 复增益

定义复增益 为把复指数输入乘成复指数稳态输出的复数：

对上述阻尼器驱动系统，

把复增益写成极坐标形式

则

因此一般地：

复增益同时编码了稳态输出的振幅缩放和相位移动，是频率响应分析的核心量。