07-15-算子多项式信号与共振

第 15 讲：算子、多项式信号与共振

1. 微分算子

算子把函数映射为函数。微分算子 定义为

例如，

迭代得到

恒等算子 满足 。算子的线性组合例如

若

则定义

常系数线性方程可简写为

是线性时不变微分算子，代表系统；输入 与响应 满足 。形式上，求解就是寻找逆算子：

2. 指数响应公式的算子形式

由于

所以

当 时，

有特解

3. 共振响应公式

若 ，普通指数响应公式不能直接使用。把

对参数 求导。由于 与对 的微分可交换，

若 是单根，即

则

是

的特解。这称为共振响应公式。

例 1

因此

原讲义此处漏掉负号；代回原方程可立即核实。

虽然该响应仍趋于零，但比单纯的 多了因子 ，衰减更慢。

例 2：无阻尼共振

先求复方程

故

取实部：

振幅随时间线性增长，就像按摆的自然频率持续推秋千。

4. 多项式输入与待定系数

设

若

则

恰有一个次数不超过 的多项式特解。

例如，

猜测

代入：

比较系数：

所以

5. 当 ：降阶

考虑

令

则

猜测 ，得到

所以

积分：

特征多项式

给出齐次解

6. 高阶例子

对

令 ，则

由上面的计算，

积分两次可取

由于 和 都是齐次解，任一多项式特解还可加上 ，因此多项式解并不唯一。