07-16-频率响应

第 16 讲：频率响应

1. 参数变易

考虑

右侧不是常数倍的单一指数，因此令

求导：

代入并约去 ：

这正是上一讲求过的方程，其多项式特解为

所以

这种把指数前的常数参数改为未知函数的方法称为参数变易。它把 型输入转化为不含指数因子的方程。

2. 复增益总结

对输入

改用复输入

若复稳态响应为

并写

则

取实部：

因此

3. 二阶系统的频率响应

对通过阻尼器驱动的系统

输入为

复数替换后，

因此

其中

增益为

当 很小或很大时，增益都很小。因为分母总不小于分子，

最大增益 在

时取得，即

这个共振频率等于自然频率，并且与阻尼 无关。在该频率，

所以增益为 ，相位滞后为 。

阻尼越小，共振峰越尖锐，相位从 切换到 的过程也越陡峭。这正是调谐电路筛选特定无线电频率的数学基础。

4. 奈奎斯特图

奈奎斯特图是复增益 随频率变化在复平面中描出的轨迹。

令

则

计算

因此轨迹位于以 为圆心、半径为 的圆上，与系统参数无关。

5. 一阶频率响应：海湾潮汐模型

设海水水位为 ，海湾水位为 ，线性耦合模型为

即

原讲义两处误写为 ，由模型推导和后续计算可知应为 。

输入

对应复方程

复增益为

因此

海湾水位的稳态振幅为

在海湾水位的极大或极小处 ，由模型可知 ，所以输入和输出曲线恰在这些时刻相交。

一阶系统的奈奎斯特轨迹也满足

因此是一条与 无关的半圆。

6. 同时通过弹簧与阻尼器驱动

若基座位移 同时作用于弹簧和阻尼器，

输入仍是 ，输出是 。这是汽车悬架的标准模型之一。此时增益可能大于 ，奈奎斯特图也会显著依赖系统参数。