07-17-线性与时不变性

第 17 讲：线性与时不变性

1. 串联 RLC 电路

在串联 RC 电路中，电流 处处相同。设电源电压升高为 ，电阻和电容上的电压降为 。基尔霍夫电压定律为

元件关系：

求导后得到

加入电感 后，

基尔霍夫定律变为

求导：

输入是电源电压 ，输出是电流 。系统由算子

表示，它把电流映射为输入电压的导数。

2. 叠加原理 III

线性微分算子满足

因此，若

则

满足

这就是叠加原理 III。令其中一个输入为零可得到“特解加齐次解”的叠加原理 II；两个输入都为零则得到齐次解的叠加原理 I。

例：双曲余弦输入

求

利用

分别求解

特征多项式为 ，两种输入均共振。因为

可取

由叠加，

3. 正弦输入与虚部

考虑

它是复方程

的虚部。由于

取虚部：

无阻尼简谐振子在非共振频率下没有额外相位滞后：

4. 时不变性

若常系数系统满足

则对任意时间平移 ，

这称为时不变性。输入延迟多少，输出就延迟多少。常系数条件十分关键。

例

求

先写成

先求未平移输入的响应：

复方程中，

所以

把时间换成 ：

因此对

系统的增益和附加相位滞后只依赖 ，不依赖输入振幅 或输入初相位 。

5. 常系数线性方程求解方法总览

齐次方程

求特征多项式 的根：

• 单实根 ：模态 ；
• 重根 ：加入 ；
• 共轭复根 ：实解

若所有根实部为负，齐次解都是趋零的暂态。

非齐次方程

先找一个特解 ，通解为

常用方法：

• ：指数响应公式或共振响应公式；
• 为正弦、余弦或指数乘三角函数：复数替换；
• 带初相位的正弦输入：利用时不变性平移；
• 为多项式：待定系数，必要时先降阶；
• ：参数变易消去指数；
• 为线性组合：逐项求解后用叠加原理 III 合成。