08-1-向量点积与叉积

Week 1：向量、点积、行列式与叉积

第 1 讲：多变量微积分与向量

多变量微积分的目标，是提供处理含多个参数问题的工具，也就是研究多变量函数。

向量

向量既有方向，也有长度。向量 可用有向线段表示，其长度记为

在空间直角坐标系中，向量可用分量表示：

这里 分别是 轴方向的单位向量。

标量乘法 会把向量长度乘以 ；当 时，还会反转向量方向。

向量长度

由空间中的勾股定理：

例如：

这一公式可以先把 投影到 平面，在平面内应用一次勾股定理，再把投影长度与竖直分量结合，第二次应用勾股定理得到。

向量加法

可用首尾相接法构造：把 的起点移到 的终点，从 的起点指向 新终点的向量就是和。

在平行四边形中，两条对角线分别对应：

分量形式为：

点积

点积定义为：

点积的结果是一个标量，而不是向量。

它的几何形式为：

其中 是两向量之间的夹角。

首先，

与 一致。

为了证明一般公式，考虑一个三角形，其三边向量为

余弦定理给出：

另一方面：

比较两式即可得到点积的几何公式。因此，点积公式本质上是余弦定理的向量形式。

用点积求夹角

例：空间三角形的顶点为

求顶点 处的夹角。两边向量为：

点积为

长度为

因此：

点积符号反映夹角类型：

• ：夹角小于 ；
• ：夹角大于 ；
• ：两向量垂直。

用点积识别平面

考虑点集：

令

方程可写成

因此 。这个点集是经过原点、法向量为

的平面。

第 2 讲：向量分量、面积、行列式与叉积

向量在指定方向上的分量

设 是单位向量，则

是 沿 方向的标量分量。

例如：

就是 在 轴方向上的分量。

摆锤所受重力 竖直向下。物理上重要的是把它分解为：

• 沿摆动轨迹切向的分量，它促使摆锤运动；
• 沿绳方向的法向分量，它与绳的张力有关。

平行四边形与三角形的面积

由向量 张成的平行四边形面积为：

相应三角形面积为：

在二维平面中，把

逆时针旋转 ，得到

若 是 的夹角，则旋转后的互余角把正弦转化为余弦，因此带方向面积可写为：

二阶行列式

定义：

其绝对值是 张成的平行四边形面积：

正负号表示 转向 的方向：在标准坐标约定下，逆时针方向给出正号，顺时针方向给出负号。

三阶行列式

对三个空间向量：

三阶行列式为：

它的绝对值是三个向量张成的平行六面体体积：

叉积

叉积只适用于三维空间中的两个向量。它的结果是一个向量，而点积的结果是一个标量。

定义：

展开为：

叉积具有几何性质：

所以其长度等于 张成的平行四边形面积；其方向垂直于两向量所在平面。

两个可能的垂直方向由右手定则区分：

1. 右手手指沿 方向伸出；
2. 手指弯向 ；
3. 拇指指向 的方向。

例如：

标量三重积

平行六面体体积等于“底面积乘高”。以 张成的平行四边形为底：

其单位法向量为

高度的带符号形式为

所以带方向体积为：

这就是标量三重积，并且：

实际体积取其绝对值：