07-39-线性化的局限极限环与混沌

第 39 讲：线性化的局限、极限环与混沌

1. 稳定性的术语

平衡点若附近轨迹始终保持在其附近，称为 Lyapunov 稳定；若这些轨迹还在 时趋于该平衡点，则称为渐近稳定。

二维线性系统中，渐近稳定区域为

即所有特征值实部为负。

2. 线性化何时可靠

对非线性自治系统在平衡点处线性化：

• 若雅可比矩阵的所有特征值实部都非零，则平衡点是双曲的，非线性相图在局部与线性相图具有相同的基本拓扑类型；
• 若线性化不位于稳定区边界，它能正确判断局部稳定或不稳定；
• 若存在零实部特征值，线性化可能无法决定真实非线性行为。

纯虚特征值的危险

考虑

在原点的线性化为

它是中心。但二次非线性项可能把中心改变为缓慢收缩或扩张的螺旋；仅从线性化无法决定。

原讲义把这一线性化的两个符号写反；两种写法都是中心，但这里按原方程求导给出正确形式。

双零特征值

在原点，

线性化说每一点都静止，无法反映真实系统。实际非线性相图有六条射线解，说明二阶项完全主导局部行为。

3. 极限环

van der Pol 方程为

伴随系统：

当 时是简谐振子，所有非零轨迹都是周期 的闭合曲线。

当 时，系统通常只有一条孤立周期轨道，其他非零轨迹都趋向它。这条吸引周期轨道称为稳定极限环。

极限环不同于线性中心的一整族闭合轨道：它是孤立的，并吸引附近轨迹。心脏起搏等生物振荡可用类似机制描述，扰动后系统会恢复到稳定周期节律。

4. 三维系统与奇异吸引子

二维自治系统能出现平衡点和极限环；三维系统则可出现更复杂的混沌行为。

Lorenz 在研究大气对流时提出三维非线性系统的一类形式：

在某些参数下，轨迹：

• 不趋于平衡点；
• 不落到周期轨道；
• 也不逃向无穷；
• 而是在两个区域之间不断缠绕。

其长期集合称为奇异吸引子。轨迹被吸引到这一复杂集合，同时对初始条件高度敏感，这是确定性混沌的核心特征。

5. 课程核心技能

1. 一阶模型、欧拉法和自治方程；
2. 一阶线性方程与积分因子；
3. 复数与复指数；
4. 二阶 LTI 系统：叠加、指数响应、正弦响应、增益、相位、多项式输入和参数变易；
5. 阶跃、冲激、单位冲激响应与卷积；
6. 傅里叶级数与周期响应；
7. 拉普拉斯变换、传递函数与权函数；
8. 线性系统、特征值与特征向量；
9. 线性相图分类；
10. 非线性相图与平衡点线性化。

贯穿课程的两大思想是：

• 线性性：允许叠加、分解和系统化求解；
• 指数函数：同时统一增长衰减、振荡、特征模态和变换方法。

6. 后续学习

可继续学习：

• 更一般的参数变易法；
• 指数平移定律；
• 非静止初值的二阶拉普拉斯求解；
• 线性代数、动力系统、偏微分方程、数值分析和混沌理论。