07-38-非线性摆与工程线性化

第 38 讲：线性化——非线性摆与工程振荡

1. 非线性摆

设：

• ：摆长；
• ：摆锤质量；
• ：重力加速度；
• ：相对竖直向下方向的偏角。

沿圆弧的弧长为

切向重力为

线性摩擦力为

牛顿第二定律：

除以 ：

其中

这是非线性二阶方程。

令

得到伴随自治系统

2. 摆的平衡点与相图

平衡点满足

即

雅可比矩阵为

向下平衡

当 时，

小阻尼下是稳定螺旋，对应摆最终垂直向下静止。

向上平衡

当 时，

因此是鞍点，对应摆竖直向上的不稳定平衡。

相图中：

• 时轨迹向右；
• 时轨迹向左；
• 高能量轨迹代表摆连续绕轴旋转；
• 阻尼使能量逐渐损失，轨迹最终进入某个向下平衡点的吸引域；
• 只有位于分离曲线上的特殊轨迹才渐近趋向向上鞍点。

3. 飞机长周期振荡

飞机在水平平衡飞行速度 附近受扰动后，令：

• ：水平速度偏差；
• ：竖直速度；
• ：推力；
• ：质量。

线性化系统为

特征多项式：

与标准形式

比较：

自然周期约为

（ 用 m/s、 用 s）。

因此长周期振荡的周期主要只依赖平衡速度；阻尼比则只依赖无量纲推重比 。

例如：

• Boeing 747，：；
• F-15，：。

若

则 ，系统欠阻尼。普通飞机通常远低于这一阈值。

4. Tacoma Narrows 大桥与负阻尼

桥面扭转角 的简化模型为

风致气动力不仅依赖风速 ，也依赖桥面的角度和角速度。简化保留主要角速度项：

于是

有效阻尼为

特征根的实部为

欠阻尼时根为

原讲义根公式漏写了虚数单位 ，但随后的说明明确指出根非实。

低风速时，气动效应可能增加阻尼；当风速升高至

有效阻尼变为负，特征根进入右半平面，扭转振荡的振幅指数增长。这不是外力频率恰好等于自然频率的普通共振，而是气动反馈造成的自激振动和失稳。