07-37-向量场与非线性系统

第 37 讲：向量场与非线性系统

1. 非线性自治系统

一维自治方程为

例如鹿群逻辑斯蒂模型

取 ，得到

平衡点为

若加入狼群 ，可建模为

鹿会因自身拥挤和狼群捕食而受限；狼在没有鹿时有自己的逻辑斯蒂增长，鹿的存在提高其增长率。

2. 向量场

一般二维自治系统为

写成向量形式：

在平面每一点指定一个速度向量，因此自治系统等价于一个向量场。解曲线的切向速度处处等于该点的向量场。

线性系统也是特殊向量场。例如

给出

它把半径向量逆时针旋转 ，轨迹是圆。

3. 平衡点

鹿—狼系统的平衡点满足

第一式给出

第二式给出

交点为

在这些点，向量场为零，系统保持不动。

4. 原点附近的线性化

展开：

在原点附近，二次项相对于一次项很小，所以

线性化矩阵为

特征值 都为正，因此原点是不稳定节点。两个种群在很小时近似独立自然增长。

5. 雅可比矩阵

在一般点 附近，

若 是平衡点，则 。令

可得局部线性系统

其中雅可比矩阵

对鹿—狼系统，

6. 共存平衡点

特征多项式为

特征值为

实部为负，所以 是稳定螺旋；左下元素为正，所以旋转方向为逆时针。

靠近平衡点时，偏差近似按

衰减，并以圆频率

振荡。周期为

正象限内的种群轨迹趋向鹿群 、狼群 的共存状态，并在接近过程中做衰减振荡。这个正象限构成该吸引子的吸引域。