07-36-矩阵指数

第 36 讲：矩阵指数与初值问题

1. 定义

标量方程

的解为

类似地，矩阵系统

的解定义为

是矩阵值函数。

矩阵的第一列等于初值

对应的解；第二列等于初值

对应的解。因此

2. 基本矩阵

若矩阵

的各列是系统的线性独立解，则称为基本矩阵。通解可写成

矩阵指数是满足归一化条件

的基本矩阵。

从任意基本矩阵可构造

因为右侧各列仍是解，并且在 等于 。

3. 不稳定节点例子

令

特征值为 ，相应特征向量可取

基本解为

因此可取

所以

4. 二阶矩阵求逆

若

且

则

5. 解耦系统

若

则两个分量独立：

所以

6. 缺陷矩阵例子

令

它是方程

的伴随矩阵。两个基本解为

所以

由于 ，

特别地，

7. 指数法则

若矩阵 可交换，即

则

若不交换，该公式一般不成立。特别地，同一矩阵的幂当然可交换，因此