07-35-线性相图分类

第 35 讲：线性相图——特征值通常决定一切

1. 相平面与节点

系统

的解轨迹画在 平面中，就得到相图。

兔子模型

有特征值

特征向量可取

两个模态为

两特征值都为正，所以所有非零解随 离开原点，原点是源点。两个实特征值同号且不同的相图称为节点：

• 两根正：不稳定节点／节点源；
• 两根负：稳定节点／节点汇。

靠近原点时，轨迹与绝对值较大的指数衰减得更快，通常切向于较小绝对增长率对应的特征线；远离原点的长期方向则由最大实部特征值主导。

2. 迹—行列式平面

对二维矩阵，

所以

临界抛物线为

分类：

• ：共轭复特征值；
• 等号：重复实特征值；
• ：两个不同实特征值。

若特征值为复数，其实部为 。

3. 节点、螺旋、中心和鞍点

螺旋

复特征值

产生螺旋：

• ：稳定螺旋汇；
• ：不稳定螺旋源；
• ：中心，轨迹为椭圆。

鞍点

若两个实特征值异号，则 ，相图为鞍点。一条特征线沿正时间向外，另一条沿正时间向内。

例如，

有特征值

相应特征向量可取

一般轨迹在 时趋向正特征值的特征方向，在 时趋向负特征值的特征方向。

4. 重特征值的边界情形

在临界抛物线上，特征值重复。

若只有一个特征方向，矩阵是缺陷的。例如

有重复特征值 ，特征向量

可取广义特征向量

两个独立解为

相图是缺陷节点汇，轨迹最终与唯一特征线相切。

原讲义本讲对 与 的分量排列前后不一致；这里采用满足方程的形式。

若 ，每个方向都是特征方向，相图是星形节点：

• ：星形源；
• ：星形汇。

二维重根情形中，完备情况必须是 ，并非任意对角矩阵。

5. 零特征值与旋转方向

若

至少有一个零特征值，相应特征线上的点都是平衡点。

相图的顺、逆时针方向不能只由特征值决定。可在

处观察

即矩阵第一列：

• 左下元素 ：速度向上，逆时针；
• ：速度向下，顺时针。

6. 稳定性分类

• 渐近稳定：所有解趋于原点。二维中对应

• 不稳定：存在并通常有多数解远离原点，包括鞍点、不稳定节点和不稳定螺旋。

• 中性稳定：所有解有界，但多数不趋于零。典型情形：

  • ：中心；
  • ：一条平衡线配合一个衰减方向。