07-34-复特征值与重特征值

第 34 讲：复特征值与重特征值

1. 二维系统求解步骤

对

通常：

1. 求特征多项式

2. 求特征值 ；
3. 对每个特征值求非零特征向量

4. 构造正规模态

5. 用独立模态的线性组合构成通解。

同一特征值的所有特征向量及零向量构成特征子空间；非零特征向量在最简单情形下形成一条特征线。

对

其中

2. 复特征值

考虑

所以

特征值为

对 ，可取特征向量

相应复模态为

展开：

取实部和虚部，得到两个独立实解：

通解为

轨迹顺时针旋转，并按 向外扩张。

一般地，特征值

产生螺旋或椭圆型运动：

• ：向外扩张，不稳定；
• ：向内收缩，稳定；
• ：无指数包络，形成闭合椭圆轨道。

3. 重特征值与缺陷矩阵

考虑

唯一特征值为

且代数重数为 。解

可取

只有一个独立特征向量，所以只有一个普通模态

为得到第二个解，寻找广义特征向量 ：

本例可取

第二个解为

因此通解为

只有一个特征方向、不能找到足够多独立特征向量的矩阵称为缺陷矩阵。

4. 完备的重特征值

重特征值不一定导致缺陷。例如，

其特征值 重复两次，但

所以任意非零向量都是特征向量。每个解都可写成

此时有整个平面的特征向量，矩阵是完备的。

对 矩阵，若只有一个重复特征值 ，则除非 ，否则通常只有一条特征线并属于缺陷情形。