07-33-特征值与特征向量

第 33 讲：特征值与特征向量

1. 线性代数预备

对

矩阵乘法可写成列向量的线性组合：

齐次方程

总有零解。它存在非零解，当且仅当两列线性相关，也就是

这一结论对任意阶方阵仍成立。

2. 射线解

考虑

例如

寻找沿固定方向 的解：

则

另一方面

若轨迹始终沿同一射线，必须有

对某个数 成立。

称为特征值，非零向量 称为相应特征向量。零向量虽然对任何 都满足等式，但按标准定义不称为特征向量。

3. 求特征值

把

改写为

要有非零解，必须且只需

多项式

称为矩阵 的特征多项式，其根就是特征值。

本例中

所以

4. 求特征向量与正规模态

特征值

可取

确实，

由

得到

因此第一族射线解为

特征值

可取

第二个正规模态为

一般地，若

则

是系统的指数射线解，也称正规模态。

5. 通解与初值

若二维矩阵有两个不同特征值及独立特征向量，则通解为

若

则

解得

所以

当 时， 模态主导，轨迹接近特征线 ；当 时， 模态主导，轨迹接近 。

原讲义末段把两条渐近特征线写错；这里依据两个模态直接校正。