07-32-一阶线性系统导论

第 32 讲：一阶线性系统导论

1. 两个种群的耦合模型

设两个农场中的兔子数量分别为 与 。兔子既在各自农场繁殖，也会跨过篱笆迁移。课堂采用的净流量模型为

这里对角项表示留在本场的净增长，非对角项表示从另一农场流入。

讲义开头对原始繁殖率和迁移率的口头描述与随后采用的流量图略有出入；以下推导严格使用讲义明确列出的方程，因为其特征根和解均与该系统一致。

两个方程互相依赖，但可通过消元求解。由第一式，

求导并代入第二式：

整理：

特征方程

有根

对应的 分量为

利用 ：

因此两个基本向量解为

第二个模态含负种群分量，单独看没有直接生物意义，但可作为线性组合的数学基底。

2. 矩阵形式

一般二维齐次线性系统

可写成

其中

矩阵乘法定义为

也可按列理解：

兔子系统对应

通解为

3. 伴随矩阵：把二阶方程改写成一阶系统

任何二阶线性方程都可转换为二维一阶系统。考虑

令

则

矩阵形式为

矩阵

称为原二阶方程的伴随矩阵。相平面中的状态向量

同时记录位置与速度。

4. 扩张螺旋

考虑

伴随矩阵为

特征多项式

特征根为

所以

位置和速度都做振幅按 增长的振荡，并有相位差。因此状态轨迹 在相平面中形成向外扩张的螺旋。

5. Romeo 与 Juliet 模型

令 表示 Romeo 对 Juliet 的感情， 表示 Juliet 对 Romeo 的感情：

这正是上一节的伴随系统。

• Romeo 的感情变化完全由 Juliet 当前的感情驱动；
• Juliet 有正的自我强化项 ；
• Romeo 的热情通过 使 Juliet 退缩。

从初始状态

出发，双方态度循环变化，但每一轮的强度因 包络而增大。相平面中的扩张螺旋直观表现这种越来越剧烈的关系循环。